杨辉三角上课用

把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，…时，可列成下表：(a+b)1→11(a+b)2→121(a+b)3→1331(a+b)4→14641(a+b)5→15101051(a+b)6→1615201561……上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)1

在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉于1261年在其所著的《详解九章算法》中就有出现.

欧洲认为是1654年帕斯卡发现的，称为“帕斯卡三角”第1页/共32页第一页，共33页。

(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561观察二项式系数表，寻求其规律：31015

思考观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？(1)对称性:

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．第2页/共32页第二页，共33页。(2)递推性:

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

性质(3)各二项式系数的和.

从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.※当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；※当n是奇数时，中间的两项二项式系数和相等，且同时取得最大值。

即

和

(a+b)1……………11(a+b)2……………121(a+b)3…………1331(a+b)4………14641(a+b)5……15101051(a+b)6…1615201561(4)增减性与最大值.即

第3页/共32页第三页，共33页。

试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得

启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法.

思考1第4页/共32页第四页，共33页。题型一求二项展开式中有关系数和的问题(整理)例1:在二项式(2x-3y)9展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有偶数项系数之和;(4)所有项系数绝对值的和.第5页/共32页第五页，共33页。方法2:|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|,即为(2x+3y)9展式中各项系数之和,令x=y=1得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.即所有项系数绝对值的和为59.第6页/共32页第六页，共33页。变式训练1:若(1-2x+3x2)8=a0+a1x+a2x2+…+a14x14+a15x15+a16x16.求:(1)a1+a2+…+a16;(2)a0+a2+a4+…+a14+a16.解:(1)令x=0,得a0=1.令x=1,得a0+a1+a2+…+a16=28=256.∴a1+a2+a3+…+a16=255.

(2)由(1)知,a0+a1+a2+a3+…+a15+a16=28,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a14-a15+a16=68,二式相加得2(a0+a2+a4+…+a14+a16)=28+68,∴a0+a2+a4+…+a14+a16第7页/共32页第七页，共33页。题型二求二项展开式中有关最大系数问题例2:(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.第8页/共32页第八页，共33页。

余数是1，所以是星期六例4、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？三、整除问题第9页/共32页第九页，共33页。

例5:求

的展开式中项的系数.解的通项是的通项是的通项是第10页/共32页第十页，共33页。由题意知解得所以的系数为:

例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算第11页/共32页第十一页，共33页。(-168)第12页/共32页第十二页，共33页。题型

证明恒等式析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解两式相加第13页/共32页第十三页，共33页。

求证：证明：∵倒序相加法

思考第14页/共32页第十四页，共33页。求证：第15页/共32页第十五页，共33页。例20．证明：

证明通项所以题型证明不等式利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩第16页/共32页第十六页，共33页。探究：斜行规律（一）第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.第17页/共32页第十七页，共33页。

1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）

1＋4＋10＋．．．＋＝（第4条斜线）

1＋3＋6＋．．．＋＝（第3条斜线）

1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）

(n>r)?第18页/共32页第十八页，共33页。结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第19页/共32页第十九页，共33页。第1行 113第5行

15101051第0行

1第2行

121第4行

14641

125第6行

1615201561第7行

172135352171第3行

1331……18132134（二）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881结论2：从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。第20页/共32页第二十页，共33页。中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．斐波那契“兔子繁殖问题”趣味数学第21页/共32页第二十一页，共33页。358第0行4101312679111214151）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第行的各个数字为奇数？2n-1除两端的1之外都是偶数.

则第2n行的数字有什么特点？探究：横行规律第22页/共32页第二十二页，共33页。高考真题：（07湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第行第一行

1

1第二行

1

0

1第三行

1

1

1

1第四行

1

0

0

0

1第五行

1

1

0

0

1

1

2n－1

第23页/共32页第二十三页，共33页。题型三与杨辉三角有关的问题例3:如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于()第24页/共32页第二十四页，共33页。第25页/共32页第二十五页，共33页。变式训练:如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第14与第15个数的比为2：3.第26页/共32页第二十六页，共33页。答案:34第27页/共32页第二十七页，共33页。

在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;

思考第28页/共32页第二十八页，共33页。解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为第29页/共32页第二十九页，共33页。（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）

r=5.

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为第30页/共32页第三十页，共3