2022年3月 八省八校(T8联考)2022届高三第二次数学试题卷(附答案及详解)

数学试物第数学试物第2页其4页数学试题第】页共数学试题第】页共4页广东实验中学东北育才中学石家庄二中华中师大一附中西南大学附中南京师大附中湖南师大附中福州一中2022届高三第二次T8联考数学试题命題学校：华中师大一附中命鬆人：周龙虎沈宇为审題入：钟涛胡立松考试时间：2022年3月22日上午8:00-1（）:0（）试卷满分150分考试用时120分钟注意李项：1•答卷询•者住务必将自己的姓名、准考iiE巧填頁在答题卡_L。2•冋答选择题时•选出毎小题答案后•用铅笔把答题匸对应题II的答案标号涂黑。如需改动•用橡皮擦干净后•再选涂其他答案标号•何答非选择题时•将答案写在答题卡上•写在本试卷上无效.3.考试结束后•将本试卷和签题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目娈求的.1-复数w=i++•则2=OB.2iC.-2iD・一l+i2•设集合A=<o-|log2（j：-1X2）,B={x|x<5},f|ijTOC\o"1-5"\h\zA.A=BB.C.AUED.03.设S.为等差数列d）的前5项和・且满足心<0』产&・则当S“取得最小值时」的（fl为A.3B.6C.9D.124•如图•在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AH.AD向外分别作正方形ABEF・AL）MN・直中AB=2.AL）=1•ZBAL）=半•则•両=A.-2^/2B.272C.OD.-15.若将函数/（.r）=2sin件一手）的图象分别向左平移专个单位长度耳向右平移年（^>0）个单位长度.所得的两个函数图象恰好匝合•则年的最小值为I).冗/\丄尸B—C—I).冗•32-3G.如图•已知止凹面体/\从•"的棱尺为1•过点”作截面TE.F两点•且四面体ABEF的体积为四面体ABCD小值为C丄D渥—3•37•黎曼南数是一个特殊的碉数・由徳国数学家波恩呛徳•黎曼发现并提;1：・在髙等数学屮有若广泛的应亠…i+・、s=乎（p・q都是正整数•乎是规约頁•分数）用•壊曼函数定义在［0J］上JI：解析式为R（x）=ipp\p丿.|o,当X=oa或［0,1］上的无理數.若函数门小是定义在实数集上的偶函数.FL对任意丄都有/(2+a)4-/<x)=O^li[0.1]时./(^)=K(x>,则/(一52)—/(警｝=2TB-4c--Td--48•已伽椭圆八〒+号=1•过其左焦点码作直线I交怖岡rTP.A两点•取卩点关于#轴的对称点B.若。点为的外心•则攥+=A.2B.3C.4L).以上都不对二、选择题：本砸共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合題目耍求.全部选对的得5分■部分选对的得2分•有选错的得0分.9•下列命题正确的是若爭件A与B相互独立，且0<P(A)-P(B)<l.则P(A|B)=P(A)设随机变皋X服从止态分布N(0・l)・则P(|X|<*)=1—2〃©<*)在冋归分析中•对一组给足的样本数据5・M)・5・Q・・・・・(.r“・yJ而言•当样木相关系数|打越接近1时•样本数期的线性相关程度越强在回归分析中•对一组给定的样本数据3小)•(％』｝■•••■5而言•若残差平方和越大•则模型的拟合效果越差;反之•则篌型的拟合效果越好10・作为平面克角坐标系的发明扒法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线贞在平而直角坐标系"b下的一般方程为卅+护7“心=0・某同学对^=1悄形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是A・曲线不经过第三象限C.HH线9虫线」+$=—1有公其点8曲线几于比线歹=工对称D・仙线与虫线広+$=—1没有公共点11.已知aM€R・满足e+=1•则A・“+〃《一2ln2B.eu+Zr<0C.ab^\I).2(』+評12.如图•在棱长为1的正方体ABCD-AbBGU中・F为拔阴的中点・Q为正方形BBGC内一动点（含边界）•则下列说法中正确的是若DQ〃平面入卩。・则动点Q的轨迹是〜条线段存在Q点.使得D&丄平面A,PD（、・当且仅当Q点落在校CC.上某点处时•三校锥Q儿PD的体枳晟大I）.若UQ=%•那么Q点的轨迹长度为务三、填空题：本題共1小题，每小題5分，共20分.13•在二项式”+严）的展开式中•若询三项的系数成等羌数列•则实数灯=若任平血宜你唯标系r（）y中•宜线/一，=2与宜线r-y=4分别繊圆.r2+/=r（r>0）所得弦氏之比为3,1•则r=・某学校为落实••収械••政策•在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动•规有甲、乙.丙、丁四人.乒乓球、篮球、足球、羽E球、网球五项活动・由丁受个人将力和时间限制•毎人只能等町能的从屮选择一项活动•则凹人中恰右两人参加同-活动的概率为・心0<x<l16•已知/（.r）=<•若存在孔>^AO•使得门孔）=呼3〉・则巧•/（竝）的取值范围为er•四、解答題：本題共6小题•共“分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步黙.17•(本小题满分10分)如图•在直角厶ABC中•角C为直角•角A.B.C所对的边分别为",•且cosB=#・求角〃的大小；若c=3・D点为边［・.一点.H.AD=1.求sinZBCD・|\18.(本小题满分12分)如图•在总三棱柱AEC-AJC,AC=72BC=72AB=y/2.E.F分别为线段BB,人C的中点.(1)证明:EF±平面AAiCiC；⑵若二面角C-AtE-A的大小为专，求AAi的长.教学试题第教学试题第3页共1页教学试题第教学试题第3页共1页19•(本小题满分12分)设数列《｝的前刀项和为且2S+1=3“5GN・).(1)求S界3(2〉址明:当心2时・2S”+-》9・数学试题第数学试题第1贝共1页(*小题满分12分)2022年冬奥会在北京举行•冬处会吉祥物■冰燉墩"自亮和以来就好评不断•出现「'一燉难求•'的现紀主办方现委托某公用推;I；一款以“冰墩燉"为原型的纪念品在专卖店进行售卖.U知这软纪念品的生产成本为807E/件.为r确宦氏销仔价格•调査了对这款纪念品的购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位■并将收集的100名消费者的心理价位整理如卜.:心理价位(元/件)90100110120人数102050假设当且仅半这款纪念品的销售价格4、丁哎爭丁某位消费者的心理价位时•该消费者就会购买该纪念品.公司.为了満足史多消费者的需求•加定忑位消费者呆多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的悄住价格为位:元/件八9OVY12O•且毎位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样木的频率分布估il•总体的分布•频率视为凱率.(1)若x=100.试估计消费者购买该纪念品的概率&已知某时段有4名消费者进店•X为这一时段该纪念品的购买人数•试求X的分布列和数学W^E(X)；⑵假设共有M名消费者•设该公词售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位:元)•当该纪念品的销售价搭』定为多少时.Y的数学期塑E(Y)达到嚴人值？(本小题满分12分)22已知双曲线八壬一许=13>0・QQ)过点P(A<#>.R.r的渐近线方程为j=±Ar.求卩的方程&如图，过原点O作互相垂直的直线人仏分别交双曲线于A,B两点和C,D胸点・A・D在p轴同侧•请从①②两个问题中任选-个作答，如果多选.则按所选的第一个计分.求四边形ACBL)血枳的取值范国;设杠线AI)与两渐近线分别交于M・7两点•是育存在比线AI)使M.点•若存在•求出宜线AD的方程:若不存在•iff说明理由.(本小题满分12分)已知函数/<x}=<x2-ax}lnx+a：(a6R.a>0).⑴若1是函数/(Q的极值点，求a的值,⑵若0V*l・试何“刃是否存在雷点•若存在•请求出该零点'若不存在•诸说明理山.若/(“)有卿个零点•求满足题意的a的最小整数伯・(参考数据心2心0・693•石21.649)题号123456789101112答案ACBCAI)I)CACDABDABDACD1•【答案】A1-【解析】N=i+〒=i—i=0,故n=0,选A.2•【答案】C【解析】log2(兀一1)<2少0<乂一1<4少1<无<5,・•・/!={ji'llog2(Ji'—1X2}={无|1Vjt<5},即A^B,选C.3•【答案】B【解析】设数列3”}的公差为d,由S3=S9,得3s+3d=9a}+36(7,如=—，故d>0.S„=〃=耳~"2—6d”=(”一6严一18d,故当n=6时，S”取得最小值，选B.4•【答案】C【解析】屁・FN=(AB+AD)・(就+承)=AB・FA+AD・FA+AB・AN+AD・AN=O+|AD||FA|cos十+|AB|\AN\cosy+0W2-V2=0,选C.•【答案】A【解析】/（小的图象向左平移寺个单位长度得gQ）=2sin（2（工+号）—号）=2sin（2工■■扌）的图象，向右平移<p（<j?>0）个单位长度得h（）=2sin（2（王一孑）—）=2sin（2.疋一2申一号）的图象，由题意得一2爭一-y+2怡兀=*"WZ）,<p=酝一专4WZ）.又cp〉0,故卩的最小值2为〒厂选A.•【答案】D【解析】由yH-AEF=H-ACI）得〒^A.4CD•又由T*S/f=£・AE・AF・sinZEAF,S&cd=yAC・AD・sinZCAD,得AE・AF=AC^AI）=-L•在△aeF中，由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE・AF・cosZEAF=AE2+AF2-AE・AF>2AE・AF-AE・AF=-^，当且仅当AE=AF=^~时取等，・・・EF的最小值为半,选D.=f(In2),In26=f(In2),In26(0,1)为无理数，二fC-In2)=0,—■，选D・8•【答案】C【解析】设人（乂1,刃），P（乂2，歹2），人卩中点为M（j：M,yM）•则由点差法可得g・kM（）=-4，又由题设可知％・4%=~1，・・・2=4质=冲.则直线MG的方程33xM为y~[、'"（広一无耐）•由题意有，（；点在不轴上,故令$=0,得工=竽,G点坐标为（亍,0）,易知心>-1,|F}G\=|^+1=乎+1，又由焦半径公式可得丨AP丨=丨AF]|+|尺卩|=丄心+2+当工2+2==4.=4.故选C.9•【答案】ACD【解析】事件A,B相互独立显(AB)=P(A)P(B),P(A|£)=CJ=P(A)小选项正确；随机变量X服从正态分布N(0,1),P(|X|<y)=2P(X<y)-l,B选项错渓；在冋归分析中，样本相关系数丨厂|越接近1,样本数据的线性相关程度越强，C选项正确；在冋归分析中，若残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差，D选项正确.10•【答案JABD【解析】当无，歹<0时心+y'—3巧<0,故第三象限内的点不可能在曲线上，A选项正确；将点(.y口)代入曲线方程^r3+y-3<v=0,故曲线关于直线歹=工对称，BJi"-\~y-—3无$=0,选项正确；联立jf34-y—3乙y=□+y=—1,(x+,y){jc2+cy2—xy)—3=y=0,将w+,y=—1代入得一Q+.y)2=0,即工+.y=0,方程组无解，曲线与直线工+.y=—1无公共点，C选项错误，D选项正确.11•【答案】ABD【解析】e“+e"=1$2疋，e呼屮£—山2,a+bW—2In2,A选项正确；OVe“，｛‘<1,.•.a,6<0,efl+b=1—e/?+Z?,令/(乂)=1+jt—er，/"(jr)=1—er,当^'6(-oo,0)时，#a)〉o,y)单调递增，/“)</(0)=0,即1rJ+b<0,B选项正确；当a=h=—In2时,ab=ln22<l,C选项错误；2(e2“+e2/>)工(e“+e〃屮=1,D选项正确.【答案】ACD【解析】分别取B.C^GC中点E,F,连接从E,dF,人EF,DF〃A】PJ力F0平面AjPD,A,PU平面A】PL).I)iF〃平面AiPL).同理可得aEF〃平面A.PD.DjFnEF天=F,A平面A\PD〃平面D,EF・则Q点的轨迹为线段EF,A选项正确：以直线DA：为工轴，DG为$轴・DD为z轴•建立如图所示空间直角坐标系.A(1.0,0)・D(0,0,1)JJ()，设Q(,IQWWieWI.A^L)=(一1,0.1),乔=(0,1,*)9亦=(工设w?=(aJ).c')为平面A】PD的一个法向量9则伽•市=0,厂+=(几f〜彳>即-£-得彳(•取I/n・A】F=S卩+三=0，[b=-—,w=(1,-y,1).若DiQ丄平面APD,那么l^Q//m,即=A存在AER.使得瓦6=入屛1=—今，解得工=龙=—2毎[0,1)故不存在点Q使得D】Q丄平面A】PD,B选项错误■△A/D的面积为足值，/.当且仅当Q到平面A的距离d最大时•三棱铤Q~A.PL)的体积最大.d=-①乂+-①乂+斗9d=1—（工+迄），则当工+z=0时，d有最大值1.②兀+z>斗，71〃=亍"+迄）一1,则当x+z=2时，d有最大值*.综上■当工+<=（）■即Q和G重合时/有最大值■三棱锥Q-AjPL）的体积最大，C选项正确；L\G丄平面BB.GC,•••DG丄GQ，D,Q="心+CG=鲁，.•.C,Q=豊,Q点的轨迹为半径为务，鬪心角为号的圆弧，轨迹长度为哼心D选项正确.4【答案】+或占211【解析】展开式的通项：丁卄|=CU"（半）'=Ga5*一2j由题意有1+&於=2心一解得d=y或*•【答案】字【解析】圆x2+y=r2的圆心（0,0）到直线工一）=2的距离/=:厂2=松.则所截眩长为2厂二7,同理直/FTF线乂一$=4截圆卡所得的弦长为27^8.由z2S题意有2/:2/^二$=3：1,解得厂2=节*>（）,,,/35故尸丁7?【答案】谒【解析】每个人有5种选择■四人共有5（种选法；具中恰有两人参加同一拓展活动共有GC!&种选法，故四人中恰有两人参加同一拓展活动的概率为斗津=（点.【答案J（O.^）U：e\+ao）【解析】①0010?<19八也）e/【解析】①0010?<19八也）e/(cfj>=ecfi6（0今1）今冲€0.—e(t2)=j-jt2=e€(0，+)?②0<心<1=乞，”(心)=€心W(0,e),/(工2)=eJ2故不存在45使得/(工2>=e/(xi)；③<T2,/()=曲=亡/(jti)=e・eri,jc>=1+d“]•/(也)=小e"2=K]ezi+1"令g(x)=o',当^1时Q)=(工+1)eE>09M“)在[l.+s〉上单调递増9q・/(也>=岀(JT])(1)=e2.综上所述，心•丿5）的取值范围为（0，十）U[e2,+co）.

TOC\o"1-5"\h\z【解析】(1)IC=今打・cos旦=宁，整理得2疋-zc2ac2+ac=0-»(2«—<)(a+c)=0.3分■:a+c>0勺：•2a—c=092a=c.:.COsB=f,・・mO,7T),・・』=手(2)c=AB=3.BD=AB-AD=2.BC=A^cosB=—.6分在△BCD中■由余弦定理得CD2=BC2+BD2—2BC•\/iy~irC)Q\/iy~irRDcosB=^-+i-Z•耳z8分•rh正眩龙理得•rh正眩龙理得CD_BL)sinBsin/BCD2・童.—sinZBCD=10分BL)•sinsinZBCD=10分2【解析】（1）证明：取A]G中点G,连接FG.BiG.三棱柱ABC-AiBiG为直三棱柱，CC】丄平面凡B.G,7BiGU平面A】bCj匸BiG丄CO.vA1B1=B1G，&为AICj中点，・•・dG丄人0,AGC|CC」=G,・・・5G丄平面AA]GC.①3分VG为AG中点,F为AC中点，FG//CC,且H^yCCi.TE为B5中点.B1E=yBB1=yCC1=FG.又B、E

〃CC]「・FG"B\E且FG=BE.四边形BtEFG为平行四边形,EF//B^G.②综合①②可知丄平面AAiCiC.(2)AC=^2.AB=BC=1,为直角.A£U_BC・则丄bG・以直线5久为t轴，B,G为y/.xZ/IYr轴』小为z轴"建立如图所示/!/空间直角坐标系.7分彳么仝上二设AA】的长为川工>0)・<飞则Ai(100)心0,1心)加(1,0山),£：(0,0诗).m•A]A=Oet\r=O,加=(0m•A]A=Oet\r=O,加=(0丄0).取t=29得旷=x=—広设朋=(«"“・)为平面AEA的一个法向量°巾=(厂宀。为平面4EC的一个法向量，得a=c=0今取力=1•Im得a=c=0今取力=1•10分二面角C—AiE—A的大小为专,则m.n的夹角为专

TOC\o"1-5"\h\z|eos5/〉|_二.I^H»I厶++2解得十=2心＞0…・“=雄.故AA】的长为施.12分【解析】（1）解：当□=1时,2Si+l=2tu+l=3«i，解得a\=Si=1.1分即s”+*=3（s归+fS+当心2时，2S”+l=3乩=3（S“一S—）.S„=3Sw即s”+*=3（s归+fS+=号工0打・6+*｝是以*为首项，3为公比的等比数歹IJ,Sw+y=yX—1少£+]（2）证明；市5严^^,得站=二^=3"一1,……7分则2SW+—=3W-1+令r=3M,^2,则心9.Vf（.t）=1—1+十在[3,+00）上单调递增,q・・J（r）y/（9）=9,即3”一1+方鼻9,当且仅当n=2时O取等，原命题得证.12分20.【解析】（1）当纪念品销售价格为1（）0元/件时,10（）名消费者中有90人购买该纪念品，所以消费者购买该纪念品的概率为0.9.2分X〜"（4,0.9），尸（X=小=匕•0.9*・（）.1^（.k=0,1,2,3,4）,X的分布列为X01234P0.00010.00360.04860・29160.6561TOC\o"1-5"\h\z5分X的数学期望E(X)=4X0.9=3.6.6分(2)设购买该纪念品的总人数为Z，则Y=(t-80)Z,E(Y)=(jr-80)E(Z)?8分当90<丄冬1()0时，Z〜9>,E(Z)=0.9M,E(Y)=0.9(x-80)M,当龙=100时,E(Y)有最大值18M；9分当100<工£110时・Z〜B(M.0.7),E(Z)=0.7M,E(Y)=0.7(.r-80)M,当広=110时.E(Y)有最大值21M；10分当110<工W120时，Z〜B(M・0.2),E(Z)=0.2M9E(Y)=0.2(t-80)M9当北=120时,E(Y)有最大值8M?11分综上所述，当工=110时，公司售卖该纪念品所得总利润Y的期望值最大■该纪念品的销售价格应丘为110元/件.…12分

21•【解析】（1）由题意有2=再“=药；①，a将点p皿躲代入双曲线方程得4-J-=1②"TOC\o"1-5"\h\z（a2=1./联立①②解得故厂的方程为1=1.……W=3,34分（2）选①：易知直线仃仏的斜率均存在且不为0,设ACQ）9J3（兀29夕2）5J（広39歹3〉9D（g9加）9直线11的斜率为小直线仏的斜率为一土•人的方程为$=屁仏的方程为了=一+文•,y2整理得〈3—X）/—3=0.“-号i直线A与双曲线厂交于两点，故3—/工0且厶=12（3——忙>>0•怡2<3«?6分

直线心与双曲线厂交于两点，故3段_1工0且=12炉（3^-l）X）,F>y,3护F-1护则丨⑴丨=1=2x（1+胪）3护F-1护则丨⑴丨=1=2x（1+胪）3启一1'根据对称性可知四边形ACBD为菱形，其面积Smeu=4-|AB|*|CD|/3(1+F)/3〈1+加)3—居V3^-1=6（1+胪=6（1+胪）23—胪）（3胪一1）(1+F)2=66加一3(1+护)2=610分(1+护)厂3I*V/V3,/+2I*V/V3,/+2+右W3八(1+P)2——6(3,4？”—3E(0«1]♦於+2+土(1十才》

「•S,蚀“&[6・+s）・1Z分选②：假设满足题意的直线AQ存在.易知直线AQ斜率存在•设直线AL）的方程为y=kjj+W今A（才W今A（才1今y）（如72）・整理得（3-F）x2-2^jt-nr—3=小丸2=由韦达定理有＜4k2小丸2=由韦达定理有＜4k2m2（3—於4（一“JT）~3—卅-0.（3—於）H0且厶=4肿屛+4（屛+3＞（3—於）＞0,解得心3S.k2＜m2+3.2km—-in1-33-F|AD|=>/1+k:\/（Xi+Xi）J—4X\X2=V1/（1+號）（12“2—1Z护+36）V（3—C不妨设M为直线AD与渐近线的交点.联立y=kjc^m^解得AM联立y=kjc^m^解得AM点的坐标为2222、同理可得N、同理可得N点的坐标为=/12（l+F）z;?一7（3—股）M.N为线段AD的三等分点,|AD|=3|MN|,Hn/（1+胪）（1Z屛一12胪+36）0/12（1+胪）/（3—启）2即J=3J（3—启）2整理得於+8财一2=0•①VAB±CD,：.AO±DO,AO^DO=0⑷观+皿2=0.T］文2+y\了2=劝乂2+（怡文1+皿）（kJ：2+血>=_2_q3—加2km（1+斤"）JTjt2+皿（才］+才2）+r）r=（1+怡’3—加2km+如2?+=0•整理得一3加+2nr—3=0.②…3_十AL）.联立①②得肿=—召，无解，故没有满足条件的直线AL）.12分22.【解析］（1）/（t）=（2jc~u）lnt+j-—«十1,TOC\o"1-5"\h\z・・T是函数/（工）的极值点，/（1）=1—q+1=0・解得a=J2分当a=2时■»Jf（工》=（2jc—2）In—1=（jc~1）（21n工十1）.当（*"）时（小<。丿（工）单调递减；当工G（1,+QQ）时・/（工）>0」心）单调递增-.••当乂=1时JQ）取得极小值，1是/（攵）的极小值点.故a=Z即为所求.3分（2）/（r）=x（{x~a）Injr+1）,jr〉O,・；/（x）白勺零点个数与g（尤）=（工一a）lnx+1的零点个数相同.4分当a=1时°&（工;>=（尤一1）In乂+1,”（尤）=In尤+11--当/W（0,1）时，£‘（/）<0,gO）单调递减；当<l,+oo）时,g/（^>>O,g（x）单调递增.当x=l时,g（z）取得最小值g（1）=1>O.・•・£（/）无零点，即/Q）无零点.5分当«6<0,1）时，/（/）=1“工十1一+・令/?（T）=lnx十1——.又/