正弦定理余弦定理及其运用

一、考纲解读二、正弦定理及其变形三、余弦定理及其变形四、实际应用问题中的基本概念和术语五、例题讲解六、高考题再现七、小结本节课内容目录：第1页/共29页第一页，共30页。一、考纲解读：在课标及《教学要求》中对正弦定理、余弦定理的要求均为理解(B)。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。第2页/共29页第二页，共30页。二、正弦定理及其变形：ABCabc(其中R是外接圆的半径）第3页/共29页第三页，共30页。1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；(三角形形状唯一）2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（三角形形状不一定唯一）解决题型：解决题型：第4页/共29页第四页，共30页。三、余弦定理及其变形：ABCabc第5页/共29页第五页，共30页。解决题型：1、已知三边，求三个角；（只有一解）2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。（只有一解）

第6页/共29页第六页，共30页。四、实际应用问题中的基本概念和术语仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。

第7页/共29页第七页，共30页。中，若的范围是

。

例1.在锐角解：由得到(某学生的解）五、例题讲解：

例1五、例题讲解第8页/共29页第八页，共30页。错因分析：因为是锐角三角形，则要求前面解法忽视了对的讨论。第9页/共29页第九页，共30页。正确解答解：由得到即第10页/共29页第十页，共30页。若这个三角形有两解，求的取值范围。例2.BCAAD例2则以C为圆心，2为半径画弧应与射线BD有两解：如图作个交点，则要求若合题意 的三角形有两个，第11页/共29页第十一页，共30页。解得情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba>b解的个数一解两解一解一解无解ABCbaABBCABCCBA已知两边和一边的对角，三角形解得一般情况。第12页/共29页第十二页，共30页。上表中A为锐角时，A为直角时，均无解。时，无解；第13页/共29页第十三页，共30页。例3.在中,已知,判定的形状。解法一：原式可化为

即：

例三第14页/共29页第十四页，共30页。整理得：得：或即是等腰三角形或是直角三角形。第15页/共29页第十五页，共30页。解法二：原式可化为

化简得：也即即是等腰三角形或是直角三角形。解法二第16页/共29页第十六页，共30页。

判断三角形形状时，可以将边化到角也可以将角化到边，或边角同时互化。在转化过程

中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。如内角和为，每个内角大于等。点评：第17页/共29页第十七页，共30页。且满足

求证：例四：内角的对边分别是证明：例四点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论.第18页/共29页第十八页，共30页。例五、如图所示，某海岛上一观察哨A上午12时20分测得船在海岛北偏西12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海如果轮船始终匀速直线前的B处，

11时测得一轮船在海岛北偏东

的C处，

的E港口，

进，问船速多少？例五第19页/共29页第十九页，共30页。分析：已知从C到B及B到E的时间，要知船速度，只需知道CB,BE或CE中的任一长度即可。题中只知AE=5km，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。第20页/共29页第二十页，共30页。解：轮船从C到B用时80分钟，

从B到E用时20

分钟，而船始终匀速前进，由此

可见：

设，则，由已知得

在中，由正弦定理

第21页/共29页第二十一页，共30页。

在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：所以船速

第22页/共29页第二十二页，共30页。

六、高考题再现：

1.（2008山东理）已知的对边，向量若且则角B=＿

＿

三个内角分析：由转化为三角问题。第23页/共29页第二十三页，共30页。2.（2009全国Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为已知求b.分析：求边长，考虑将角向边转化。第24页/共29页第二十四页，共30页。3.（2009浙江理）在中，三个内角所对的边分别为且满足(1)求的面积；（2）若求的值.分析：利用倍角公式求出A的三角函数值，通过向量的数量积求出的积，即可。第25页/共29页第二十五页，共30页。4.（2010江苏）在锐角三角形的对边分别为则＿

＿分析：可将所求结论切化弦，再利用正弦、余弦定理求解。第26页/共29页第二十六页，共30页。小结：处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本解型，特别是“边边角”型可能有两解、一解或无解的三种情况。三角形中的三角变换，实质就是有条件的三角式的计算与证明。第27页/共29页第二十七页，共30页。祝同学们暑期愉快、学习进步!第28页/共29页第二十八页，共30页。谢谢您的观看！第29页/共29页第二十九页，共30页。内容总结一、考纲解读。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、