正弦稳态电路

作业（1）

5-6，5-10，5-12，5-14，5-16；5-20，5-22，5-24，5-27，5-29；第1页/共67页第一页，共68页。目录5.1正弦量的基本概念5.2正弦量的相量表示法5.3基尔霍夫定律及元件方程相量形式5.4阻抗与导纳5.5正弦稳态电路分析5.6正弦稳态电路的功率5.7应用第2页/共67页第二页，共68页。

相位差

正弦量的相量表示

复阻抗复导纳

相量图

用相量法分析正弦稳态电路

正弦交流电路中的功率分析教学要点第3页/共67页第三页，共68页。5.1正弦量的基本概念

：i(t)=Imcos(wt+φi)i+_u(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)w(3)初相位(initialphaseangle)φiφiImti(t)=Imcos(wt+φi)i波形图正弦量的三要素是正弦量之间区分和比较的依据第4页/共67页第四页，共68页。φiImti(t)=Imcos(wt+φi)i波形图一般

|φi|φi

=00φi

=0iφi0φi

=-9000初相位φi

φi是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位（初相角），简称初相，即φiiφi0t第5页/共67页第五页，共68页。相位差(phasedifference)。设u(t)=Umcos(wt+ju)

i(t)=Imcos(wt+ji)相位差j=(wt+ju)-(wt+ji)=ju-jij>0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)

u;u

ijujijtu,i0j<0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)

i;即它们的初相之差，在任何瞬时都是定值。同频率正弦量的第6页/共67页第六页，共68页。j=0，同相：j=(180o)

，反相：重申：规定：||(180°)tu,iu

i0tu,iu

i0tu,iu

i0=90°,正交

u领先i90°

或

i落后u90°

当时，称这两个正弦量为同相；当时，称之为正交；时称为反相。第7页/共67页第七页，共68页。正弦量的有效值有效值(effectivevalue)1.数学定义有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为rms。)实质：它是基于周期电流（电压）的热效应与直流电流的热效应相比较而定义的。电流函数i(t)的有效值给定函数y=y(t)第8页/共67页第八页，共68页。2.正弦电流、电压的有效值设电流i(t)=Imcos(t+ji

)注意:只适用正弦量同理而电压u(t)=Umcos(t+ju

)时第9页/共67页第九页，共68页。5.2正弦量的相量表示法本节是相量法的基础理论，介绍复数的基本知识和正弦量的相量形式；涉及到复数的表示形式和运算、以及相量形式正弦量理论等。第10页/共67页第十页，共68页。复数的表示形式及运算1.复数F表示形式：FbReIma0FbReIma0j|F|代数形式指数数形式极坐标形式第11页/共67页第十一页，共68页。2.复数运算A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标(2)乘除运算——首选极坐标运算复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。+1+j图(a)0+1+j图(b)0F1+F2=FF1+F2=F即如图(a)所示作一个平行四边形；或图(b)将两个矢量首尾相连，都可以得到两个矢量的相加之和。

第12页/共67页第十二页，共68页。（a)两个复数的乘、除运算，其代数形式比较冗长，分别如下(a1+jb1)(a2+jb2)＝(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1)(b)采用复数的指数形式进行乘、除运算，比较方便。例如(c)极坐标形式的乘除运算更方便，也是运算中的首选方法：第13页/共67页第十三页，共68页。补充：旋转因子3.复数运算中的旋转因子ejj,+j,–j,-1都可以看成旋转因子。+1＋j0复数ejj

=cosj

+jsinj

=1∠j

A逆时针旋转一个角度j

，模不变Aejj

第14页/共67页第十四页，共68页。例5-1设两个复数A=4+3j和B=3-4j，计算A+B

，AB和A/B。加、减计算用代数形式，即

乘、除运算时，可以先将A和B化为极坐标形式，即

解第15页/共67页第十五页，共68页。正弦量的相量表示法1．正弦量的相量表示

一个正弦电流量可以用：规定：因为：有欧拉公式的关系：即：所以：(5-4)第16页/共67页第十六页，共68页。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位结论：式（5-4）表示一个实数范围内的正弦量与一个复数范围内的复指数量具有一一对应关系。用有效值上加点的方式表示正弦量的方法称为正弦量的相量形式，既可以与有效值I区分，又可以与一般复数区分。

注意两者是不同定义域中的量，不用“＝”表示！(5-4)第17页/共67页第十七页，共68页。补例1：已知试用相量表示i,u。解：补例2：试写出电流的瞬时值表达式。解：第18页/共67页第十八页，共68页。相量的几何意义、相量图、旋转相量、参考相量旋转因子相量A(t)是旋转相量旋转相量在横轴上的投影就是余弦函数几何意义ω+j+10第19页/共67页第十九页，共68页。相量图jiju习惯上，一般取初相为零的正弦量为参考正弦量。将参考正弦量转换成相量形式后，称为参考相量。

参考相量＋j＋10很多时候坐标轴可以省略的第20页/共67页第二十页，共68页。2．同频率正弦量的运算正弦量乘以实常数、同频率正弦量的代数和，以及正弦量的微分、积分运算，其结果仍然为同频率的正弦量。把它们转换成相量形式，采用复数计算比较方便。(1)同频率正弦量的线性运算例第21页/共67页第二十一页，共68页。这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域i1i2=i3时域频域时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。频域中求解时域频域返回第22页/共67页第二十二页，共68页。（2）正弦量的微分n重微分运算

第23页/共67页第二十三页，共68页。（3）正弦量的积分n重积分运算

第24页/共67页第二十四页，共68页。例5-2设两同频率正弦电流分别为:一般首先将不是用cos函数表达的式子转换为cos的形式，然后再采用相量计算。即

解:第25页/共67页第二十五页，共68页。同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。+1+j0+1+j0-170.540-170.540如上面求解第26页/共67页第二十六页，共68页。例5-2解(续)第27页/共67页第二十七页，共68页。例5-3求图5-6中的RL电路在正弦电压作用下的全响应。设电感的初始电流为I0。

解

采用三要素法分析：要求时间常数、初值I0和稳态解（或特解），前两个量比较容易。稳态解采用相量方法来计算，因为时域中电路的方程为（设i为待求量）化成相量形式：令：图5-6正弦激励下的过渡过程＋us－RL(t=0)iLS第28页/共67页第二十八页，共68页。

正弦激励下的过渡过程＋us－RL(t=0)iLS后续的解要方便，即：最后：三要素方法解毕！第29页/共67页第二十九页，共68页。5.3基尔霍夫定律及元件方程的相量形式时域形式相量形式例5-4如图电路的某结点，三个电流分别为

i1i2i3分别写出其时域和相量形式的KCL方程并计算结果。

第30页/共67页第三十页，共68页。解

时域形式相量形式：

=10－5－j8.66－5+j8.66=0i1i2i3第31页/共67页第三十一页，共68页。例5-5试计算端口的电压

A

B

C

u

uC

uB

uA

解直接用相量形式，取写成时域形式的电压为

显然在相量形式计算中

第32页/共67页第三十二页，共68页。元件方程的相量形式RLC其他元件：后面有例题和介绍本书重点介绍的元件时域频域第33页/共67页第三十三页，共68页。1电阻uR(t)i(t)R+-相量形式：有效值关系：UR=RI相位关系：u,i同相相量模型R+-相量关系相量图第34页/共67页第三十四页，共68页。2.电感频域有效值关系

U=wLI相位关系u超前

i90°jL相量模型+-相量图i(t)u

(t)L+-时域模型时域tu,iu

i0波形图第35页/共67页第三十五页，共68页。3.电容频域有效值关系

I=wCU相位关系i超前u90°时域tu,iu

i0波形图时域模型i

(t)u(t)C+-相量图相量模型+-第36页/共67页第三十六页，共68页。4、其他——如线性受控源由于线性受控源的控制量与被控量为线性关系，所以，将其转换成相量形式时也比较简单，两者将也是同频率的正弦量。+–+–+–+–ikrikuj时域形式相量形式第37页/共67页第三十七页，共68页。例5-62Ω

ic1uF+uL-

1mH

iS

＋

us

－

解

方法一：采用相量法。

由已知条件得

而：用相量表示为同理：用相量表示为对应写出时域形式为

求图中电感的电压uL和电容中的电流ic其中第38页/共67页第三十八页，共68页。方法二：也可以直接采用时域形式求解。即第39页/共67页第三十九页，共68页。例5-7图(a)和(b)所示的仪表均为交流电压表，各读数为电压的有效值。图(a)中读数，V1：30V；V2：60V。图(b)中读数，V1：15V；V2：80V；V3：100V。分别求出图中的电源端电压有效值Us1，Us2。解

作出相量形式电路，如图(c)

，令+us1-RLV1V2（a）RjωLci由图（c）

所以根据KVL得

于是有效值第40页/共67页第四十页，共68页。RjωL(d)+us2-RLCV1V2V3(b)i由图（d）

同理得

最后有效值：

(b)作出相量形式电路，如图(d)所示，第41页/共67页第四十一页，共68页。小结1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。第42页/共67页第四十二页，共68页。如：电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。第43页/共67页第四十三页，共68页。5.4阻抗和导纳5.4.1.复阻抗定义正弦激励下Z+-无源线性+-|Z|RXj阻抗三角形单位：阻抗模阻抗角阻抗Z是一个复量，故又称为复阻抗。

关系：或R=|Z|cosX=|Z|sin第44页/共67页第四十四页，共68页。复阻抗是电阻和电抗的组合一般情况下，阻抗的定义是一端口的等效阻抗，也称输入阻抗（或策动阻抗），其实部和虚部都是外加激励角频率ω的函数，所以有时也把阻抗Z

写成

Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。下面讨论一下电抗：回顾两个公式：第45页/共67页第四十五页，共68页。L、C元件的感抗和容抗1.电感感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。——频率的函数wXLXL=U/I=L=2fL，单位:欧的感抗U=wLI(3)由于感抗的存在使电流滞后电压。错误的写法第46页/共67页第四十六页，共68页。2电容容抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。——频率的函数的容抗I=wCU(3)由于容抗的存在使电流超前电压。错误的写法w第47页/共67页第四十七页，共68页。具体分析一下R、L、C串联电路：Z（w）=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，电路为感性，电压超前电流；wL<1/wC，X<0，j<0，电路为容性，电压滞后电流；wL=1/wC，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即UXjLR+-+-+-+第48页/共67页第四十八页，共68页。例.iLCRuuLuC+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型为jLR+-+-+-第49页/共67页第四十九页，共68页。则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图第50页/共67页第五十页，共68页。例5-8已知图示电路中，R1=20W

L=5mH，R2=5，C=25mF。求（1）当角频率为2000rad/s时，电路的等效阻抗。（2）当角频率为8000rad/s时，电路的等效阻抗。（3）当电路的角频率为多少时，电路的阻抗为纯电阻性？此时电阻为多少？jLR1+-R2解端口的等效阻抗为（1）当角频率为2000rad/s时，有第51页/共67页第五十一页，共68页。（2）当角频率为8000rad/s时，有（3）要求阻抗为纯电阻性，即阻抗Z的虚部为零，即：所以可见：阻抗是频率的函数，电路的频率改变，阻抗也就改变了！jLR1+-R2第52页/共67页第五十二页，共68页。导纳的定义对图示的无源一端口网络，导纳Y定义为无源线性网络＋

－导纳Y也可以表示为

导纳Y是一个复量，又称复导纳。G＝Re[Y]，为导纳的电导分量；B＝Im[Y]，为导纳的电纳分量。

复导纳Y单位：S第53页/共67页第五十三页，共68页。Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—复导纳的模；'—导纳角。关系：或G=|Y|cos'B=|Y|sin'|Y|GBj导纳三角形第54页/共67页第五十四页，共68页。复导纳是电导和电纳的组合容纳BC单位均是西门子（S)。

导纳也是一个无源一端口元件的等效导纳（或策动导纳），其实部G和虚部B均为外加激励角频率的函数。仿照阻抗的形式，导纳的一般形式为:R、L、C元件的导纳（1）R：（2）L：（3）C：感纳BL第55页/共67页第五十五页，共68页。RLC并联电路的导纳由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-第56页/共67页第五十六页，共68页。Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，电路为容性，i超前u；wC<1/wL，B<0，j'<0，电路为感性，i滞后u；wC=1/wL，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(wC<1/wL，<0)'RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象jLR+-第57页/共67页第五十七页，共68页。阻抗与导纳的关系及等效阻抗对同一二端网络:1、关系2、互求计算YZ无源线性网络＋

－第58页/共67页第五十八页，共68页。ººZRjXººGjBY一般情况G1/RB1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。2、互求计算(1)Y第59页/共67页第五十九页，共68页。2、互求计算(2)同样，若由