正态分布b课程学习

若总体密度曲线就是或近似函数一、正态函数的定义的图像，其中解析式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布，记作:,的图象称为正态曲线．第1页/共16页第一页，共17页。分析三条正态曲线的共同特征：

正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是,相应的曲线称为标准正态曲线.第2页/共16页第二页，共17页。观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线的性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线对称，且在时位于最高点.③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

二、正态曲线的性质

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

第3页/共16页第三页，共17页。1、在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率，即三、标准正态分布表

标准正态分布N(0，1)在正态分布研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”（见附表2）．第4页/共16页第四页，共17页。由于两阴影部分的面积相等可知：xyO3、当x

在任意区间(x1,x2)内取值的概率，利用标准正态分布表，知直线x=x1,x=x2，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积：第5页/共16页第五页，共17页。标准正态分布四、正态分布向标准正态分布的计算第6页/共16页第六页，共17页。1、关于标准正态分布的计算第7页/共16页第七页，共17页。1、关于标准正态分布的计算第8页/共16页第八页，共17页。F(x)=Φ()．

2、正态分布向标准正态分布的转化第9页/共16页第九页，共17页。2、正态分布向标准正态分布的转化

一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)进行研究．

对任一正态总体N(μ,σ2)来说，取值小于xF(x)=Φ()．

在区间(x1,x2)内取值的概率是：的概率几个重要公式：第10页/共16页第十页，共17页。例1、已知正态总体N(1,4)，求F(3)．

解：F(3)=Φ()由N(1,4)知，μ=1,σ=2=Φ(1)=0.8413.例2：分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率.F(x)=Φ()．

解：F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)≈0.683；F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)≈0.954；

F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3)≈0.997。2、正态分布向标准正态分布的转化第11页/共16页第十一页，共17页。例2：分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率.F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)≈0.683；F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)≈0.954；

F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3)≈0.997。第12页/共16页第十二页，共17页。例3、某班数学考试成绩ξ~N(75，225)，规定ξ<60为不及格，ξ>90为优秀，60≤ξ≤90为合格，求不及格、优秀和合格所占的比例.解：所以不及格、优秀和合格所占的比例分别为:15.87%、15.87%、68.26%.第13页/共16页第十三页，共17页。故设奖得分数线约为83.1分.（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(ξ≥x)＝1－P(ξ<x)=1－F(x)＝0.0951.即查表得解得x＝83.1.例4、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ<90)=1－F(90)＝1－0.9772＝0.0228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此参赛总人数约为≈526（人）.第14页/共16页第十四页，共17页。正态曲线具有的性质：课堂小结：第15页/共16页第十五页，共17页。感谢您的观看！第16页/共16页第十六页，共17页。内容总结若总体密度曲线就是或近似函数。正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．。观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线