正方形1分析课程学习

知识回顾:定义边角对角线对称性平行四边形

矩形

菱形

几种特殊四边形的定义及性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形两组对边分别平行的四边形有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形第1页/共25页第一页，共26页。学习目标：

1．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别；

2．能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算．学习重点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．第2页/共25页第二页，共26页。探究（一）第3页/共25页第三页，共26页。探究（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形第4页/共25页第四页，共26页。探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形是正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形拓展讨论讨论总结:正方形有那些性质?第5页/共25页第五页，共26页。拓展讨论:正方形有那些性质?四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形．

第6页/共25页第六页，共26页。观察思考：正方形是中心对称图形吗?第7页/共25页第七页，共26页。正方形性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8轴对称图形中心对称图形12345678第8页/共25页第八页，共26页。平行四边形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？

正方形既是矩形又是菱形．因此，正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。

第9页/共25页第九页，共26页。细心引导探究新知怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是正方形？怎样判定一个平行四边形是正方形？

既是矩形又是菱形的四边形是正方形．第10页/共25页第十页，共26页。例

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知、求证第三步：进行证明ADCBO

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.第11页/共25页第十一页，共26页。ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第12页/共25页第十二页，共26页。应用新知解决问题例如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形．

E

A

B

C

D

F

H

G

第13页/共25页第十三页，共26页。应用新知解决问题E

A

B

C

D

F

H

G

变式如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？第14页/共25页第十四页，共26页。已知：直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB.求证：四边形CEDF是正方形.ABCDEF∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形)∴DE=DFDE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB第15页/共25页第十五页，共26页。1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分

C、对角互补.D、对角线相等.2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.

B、对角线互相垂直平分.

C、对角线平分一组对角.

D、对角线相等.

BD尝试练习：第16页/共25页第十六页，共26页。3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为

44、正方形对角线长6，则它的面积为，周长为。36245、正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为2ABCDOE第17页/共25页第十七页，共26页。补充练习：1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为

平方厘米．ABCD2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.第18页/共25页第十八页，共26页。一展身手1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC2、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.EDABCP第19页/共25页第十九页，共26页。3、求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．第20页/共25页第二十页，共26页。4.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是多少？ABOPQRDCEF证△D0E≌△C0F(ASA)1第21页/共25页第二十一页，共26页。5.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EFFEPDCBA证明：连接PB又∵PE⊥AB，PF⊥BC∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90°,AD=AB,∠DAP=∠BAP=45°∴∠PEB=∠PFB=90°∴四边形PECF是矩形∴PB=EF又∵AP=AP∴△ADE≌△CDG(SAS)∴PD=PB∴PD=EF第22页/共25页第二十二页，共26页。小结1、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有哪些性质?对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角边：角：对角线：第23页/共25页第二十三页，共26页。谢谢第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的观看！第25页/共25页第二十五页，共26页。内容总结知识回顾:。1