正方形的性质与判定一

邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形自主探究第1页/共23页第一页，共24页。菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？自主探究第2页/共23页第二页，共24页。两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形回忆如何在平行四边形的基础上来定义正方形第3页/共23页第三页，共24页。平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形第4页/共23页第四页，共24页。菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系

正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。第5页/共23页第五页，共24页。菱形性质矩形性质正方形的性质=第6页/共23页第六页，共24页。性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形第7页/共23页第七页，共24页。性质应用例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：第8页/共23页第八页，共24页。（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.第9页/共23页第九页，共24页。(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.第10页/共23页第十页，共24页。1、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.

（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。变式练习

第11页/共23页第十一页，共24页。2．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

证明：

第12页/共23页第十二页，共24页。3.已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。第13页/共23页第十三页，共24页。正方形的性质的应用例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成

个全等的三角形。问：这些三角形是什么三角形？（2）两条对角线把它分成

个全等的

三角形。24等腰直角ABDCO（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为

度。45第14页/共23页第十四页，共24页。例2、如图，正方形ABCD中，ABDCO正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=

。8√2cm∵在正方形ABCD中，

2AC×BD=64，AC=BD∴AC×AC=128AC=8√2cm1第15页/共23页第十五页，共24页。正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A、四个角相等.B、对角线互相垂直.C、对角互补.D、对角线相等.巩固训练2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等. BD第16页/共23页第十六页，共24页。3.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数.ABCDEF（变式）若∠FEC=30°则∠DAF=25°30°第17页/共23页第十七页，共24页。3.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数.ABCDEF（变式）若∠FEC=30°则∠DAF=25°30°第18页/共23页第十八页，共24页。（变式）如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。试说明：AP=EFABCDPEF解:连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF第19页/共23页第十九页，共24页。5.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E，∠AFC的度数.ABDCEF4.如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠EABCDE第20页/共23页第二十页，共24页。正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC,AE交DC于点F,试求∠E,∠AFC的度数解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE的一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF的一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°,∠AFC=112.5°jFEABDC第21页/共23页第二十一页，共24页。3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.课堂练习2.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.530°16cm1.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.

（变式：课本22页第2题）PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析：PE=AE，PF=OEPE＋PF＝OA第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的观看！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容总结邻边相等的矩形。第1页/共23页。对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一