正方形的性质与判定学习资料

四边形两组对边分别平行

平行四边形

矩形

菱形

一角为90°

一组邻边相等想一想第1页/共38页第一页，共39页。你觉得什么样的四边形是正方形呢?第2页/共38页第二页，共39页。矩形正方形〃〃矩形怎样变化后就成了正方形呢?探究（一）第3页/共38页第三页，共39页。2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（填上一个条件即可）有一组邻边相等第4页/共38页第四页，共39页。探究（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形第5页/共38页第五页，共39页。

1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是（填上一个条件即可）有一个角是直角第6页/共38页第六页，共39页。探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形叫正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形叫正方形正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形拓展讨论讨论总结:正方形有那些性质?第7页/共38页第七页，共39页。知识点一：正方形的性质第8页/共38页第八页，共39页。观察思考：正方形是中心对称图形吗?第9页/共38页第九页，共39页。性质边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形第10页/共38页第十页，共39页。二、正方形的性质的应用例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成

个全等的三角形。问：这些三角形是什么三角形？（2）两条对角线把它分成

个全等的

三角形。24等腰直角ABDCO（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为

度。45第11页/共38页第十一页，共39页。例2、如图，正方形ABCD中，ABDCO正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=

。8√2cm第12页/共38页第十二页，共39页。试一试，相信你很棒！1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对角线平分一组对角C2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为

,对角线长为

,面积为

.8cm3.正方形的对角线和它的边所成的角是

度.45°4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长为

，面积为

。5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF=

。5cmABCDFPEO第13页/共38页第十三页，共39页。例

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO(SAS)第14页/共38页第十四页，共39页。ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第15页/共38页第十五页，共39页。平行四边形矩形菱形正方形正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？第16页/共38页第十六页，共39页。对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√第17页/共38页第十七页，共39页。知识拓展:与同学讨论后填写下表：

边角对角线对称性平行四边形

矩形

菱形

正方形

几种特殊四边形的性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对边平行，四条边都相等对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角相等，邻角互补

四个角都是直角对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形

轴对称图形、中心对称图形第18页/共38页第十八页，共39页。知识点二：正方形的判定第19页/共38页第十九页，共39页。正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等图形之间的变化关系第20页/共38页第二十页，共39页。正方形的判定方法：2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）第21页/共38页第二十一页，共39页。判断四边形是正方形有哪些方法？１、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．２、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．３、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）（邻边相等的矩形是正方形）（有一个角是直角的菱形是正方形）第22页/共38页第二十二页，共39页。巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？四个角都相等的四边形是正方形；()四条边都相等的四边形是正方形；()对角线相等的菱形是正方形；()对角线互相垂直的矩形是正方形；()对角线垂直且相等的四边形是正方形;()四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.()√√√×××第23页/共38页第二十三页，共39页。

已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ例题教学123证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=∠BCD=90°；

AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）又∵AE=BF=CG=DH∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF

即BE=AH=DG=CF

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．

∴EH=EF=FG=GH

∴

四边形EFGH是菱形又∵

∠3+∠2=90°且∠1＝∠3∴

∠1+∠2=90°∴∠EFG=90°

∴四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．第24页/共38页第二十四页，共39页。练习.如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边的中点。你知道四边形EFGH的形状吗？为什么？ＡＢＣＤＥＦＧＨ第25页/共38页第二十五页，共39页。2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.FABCDE试说明：四边形DEBF是正方形.解:∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠DEB=∠DFB=90°,又∵∠ABC=90°,∴四边形DEBF是矩形∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴DE=DF∴四边形DEBF是正方形

第26页/共38页第二十六页，共39页。如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，试说明四边形EFGH是正方形。ＡＢＣＤＥＦＧＨ第27页/共38页第二十七页，共39页。小结1、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有那些性质对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角等于45°边：角：对角线：3、正方形有那些判定方法（请各同学根据自己的实际具体分类）第28页/共38页第二十八页，共39页。正方形的判定方法：2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）第29页/共38页第二十九页，共39页。正方形常考点练习巩固与提升第30页/共38页第三十页，共39页。例：正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数.ABCDEF若∠FEC=30°则∠DAF=25°30°第31页/共38页第三十一页，共39页。例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°

分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

△CMD≌△ADF第32页/共38页第三十二页，共39页。练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB

(2)BH⊥AF

证明：

第33页/共38页第三十三页，共39页。如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。AEFGDCB123第34页/共38页第三十四页，共39页。例题赏析⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、BE、AC之间的大小关系，并证明你的猜想．GFEDABC第35页/共38页第三十五页，共39页。例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，