用三垂线定理求二面角

用三垂线定理作二面角的平面角第1页/共10页第一页，共11页。复习导入1．什么是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．PAB2．作二面角的平面角主要有哪几种方法？《定义法》ab《垂面法》AHB《三垂线法》

以后我们还将学习《投影法》和《异面直线距离法》等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。第2页/共10页第二页，共11页。用三垂线定理作二面角的平面角的方法与步骤1．回顾三垂线定理;PAOa三垂线定理包含四线一面以后称这个平面为基面bAHB2．方法与步骤①确定基面②在另一平面内选取适合的点A向基面作垂线AH。③向棱作垂线HB，连结AB。这其中确定、A、H三元素是学习难点，希望努力掌握。特别注意垂足H的正确位置。∠ABH就是二面角的平面角。第3页/共10页第三页，共11页。实例分析①1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，

E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD2=2，而EF=1，在△EFG中∴所求二面角大小为∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）∴M第4页/共10页第四页，共11页。课堂练习①1．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1－MC－A的大小．ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：①找基面②找基面的垂线AA1③作平面角作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H平面ABCD解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H

在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在直角△AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=．∴二面角A1－CM－A的大小为第5页/共10页第五页，共11页。课堂练习②2．已知△ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角P—AC—B的平面角的正切值.PABC思路分析：①找基面②找基面的垂线③作平面角平面ABC取AB的中点M，连结PM．M由己知AB2=AC2+BC2，∴∠ACB是直角．N取AC的中点N，连结MN、PN．∵MN∥BC，AC⊥BC，∴MN⊥AC，由三垂线定理知PN⊥AC．∴∠MNP就是二面角P—AC—B的平面角将此题作为课外作业完成。∵PA=PB=PC，∴△PAM≌△PCM．∵PM⊥AM，∴PM⊥CM，∴PM⊥平面ABC连结CM，∴AM=BM=CM，第6页/共10页第六页，共11页。课时小结

求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：（1）在二面角的两个面内选取基面；（2）在另一面内选点向基面作垂线，此时要注意垂足的确切位置；（3）过垂足向二面角的棱作垂线，作出平面角。第7页/共10页第七页，共11页。课后作业2．已知△ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角P—AC—B的平面角的正切值.3．已知C是以AB为直径的圆周上一点，∠ABC=30°，

PA⊥平面ABC，∠PBA=45°，求二面角A－PB－C的平面角的正弦值。1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC、BC

与平面所成角分别为和，求△ABC所在平面与所成的二面角的大小．ABCABCPPABC1题图2题图3题图第8页/共10页第八页，共11页。谢谢各位老师和同学！再见！第9页/共10页第九页，共11页。感谢您的观看！第10页/共10页第十页，共11页。内容总结用三垂线定理作。以后我们还将学习《投影法》和《异面直线距离法》等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．。角A1