用三重积分推导抽水做功的计算公式

6.3定积分的物理应用

1水面问题：欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功W。第1页/共22页第一页，共23页。6.3定积分的物理应用

2先用定积分来计算功第2页/共22页第二页，共23页。6.3定积分的物理应用

3如图建立x轴：设瓶高为H，水面高为

h，在x(0<x<h)的高度取厚度为dx的很薄的一层水。假设已知这层水的横截面面积为A(x)(0<x<h),

（A(x)一般根据题意得知）则这层水的体积约为：dv=A(x)dx(体积元素)水面第3页/共22页第三页，共23页。6.3定积分的物理应用

4这一层水受到的力(重力)：抽出这一层水的路程：抽出这一层水功的近似值：功的元素：μ为水的密度，g为重力加速度第4页/共22页第四页，共23页。6.3定积分的物理应用

5点评：求解这种问题的关键是分析出瓶高

x

处的截面面积A(x)，其余的量都是固定的。抽出全部水的功：(1)第5页/共22页第五页，共23页。6.3定积分的物理应用

6下面用三重积分来计算抽水的功第6页/共22页第六页，共23页。6.3定积分的物理应用

7如图建立坐标系，使瓶底在xOy坐标面上。设瓶中水所占据的空间区域为Ω。在水中(x,y,z)处取一小块水，体积为dv

(体积元素)。第7页/共22页第七页，共23页。6.3定积分的物理应用

8这一小块水受到的力(重力)：抽出这一小块层水的路程(体积元素到瓶口的距离)：抽出这一小块水的功的近似值：（功的元素）μ为水的密度，g为重力加速度。第8页/共22页第八页，共23页。6.3定积分的物理应用

9抽出全部水的功：(2)下面来说明公式(2)与公式(1)相等。从以上推导看出：用三重积分建立抽水做功的公式是比较简单的。第9页/共22页第九页，共23页。6.3定积分的物理应用

10假设（如图）则用“先二后一”积分法其中A(z)是D(z)的面积。结果同公式(1)。第10页/共22页第十页，共23页。6.3定积分的物理应用

11下面来看一个例子第11页/共22页第十一页，共23页。6.3定积分的物理应用

12例设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？同济六版292页，习题6第12页/共22页第十二页，共23页。6.3定积分的物理应用

13作为比较，我们用两种方法来计算抽水所做的功。先用定积分计算第13页/共22页第十三页，共23页。6.3定积分的物理应用

14设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？第14页/共22页第十四页，共23页。6.3定积分的物理应用

15功的元素第15页/共22页第十五页，共23页。6.3定积分的物理应用

16mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:A:=x->PI*(2*x/3)^2:dw:=x->(15-x)*mu*g*A(x):Integrate(dw(x),x=0..15)=integrate(dw(x),x=0..15);Maplecheck：第16页/共22页第十六页，共23页。6.3定积分的物理应用

17再用三重积分计算第17页/共22页第十七页，共23页。6.3定积分的物理应用

18如图建立坐标系。圆锥面是直线z=3y/2绕z

轴旋转而成的，其方程为：在水中(x,y,z)处取体积元素dv则功的元素：第18页/共22页第十八页，共23页。6.3定积分的物理应用

19抽水的功：转化为柱面坐标计算注：如果用“先二后一”积分法计算以上三重积分，则相当于前面的定积分计算过程。第19页/共22页第十九页，共23页。6.3定积分的物理应用

20Maplecheck：mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:f:=(x,y,z)->mu*g*(15-z);Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2..15),r=0..10),theta=0..2*PI)=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2..15),r=0..10),theta=0..2*PI);第20页/共22页第二十页，共23页。6.3定积分的物理应用

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不能说用三重积分计算抽水的功一定就比定积分更方便，但是三重积分至少提供了计算抽水的功的另一种一种思路。XUXZ,June17,2012,MathofSCU第21页/共22页第二十一页，共23页。6.3定积分的物理应用

22感谢您的观看！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容总结6.3定积分的物理应用1。欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功W。μ为水的密度，g为重力加速度。抽出这一小块层水的路程(体积元素到瓶口的距离)：。抽出这一小块水的功的近