研究生矩阵分析课程

1教材

工程矩阵理论张明淳，东南大学出版社参考书

1.高等代数，北京大学，高等教育出版社2.MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,2004(中译本，杨奇译，机械工业出版社）第1页/共354页第一页，共355页。2要求重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟悉课本；通过例题，理解概念；通过练习题，熟悉理论和方法。第2页/共354页第二页，共355页。3本课程大致内容第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆第3页/共354页第三页，共355页。4矩阵理论第4页/共354页第四页，共355页。5第0章复习与引深矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第5页/共354页第五页，共355页。61.矩阵的乘法中应注意的问题(1)存在非零零因子例1

第6页/共354页第六页，共355页。7(2)不可交换第7页/共354页第七页，共355页。8（3）由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立第8页/共354页第八页，共355页。9例3第9页/共354页第九页，共355页。10（4）分块矩阵设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，第10页/共354页第十页，共355页。11条件：上式有意义第11页/共354页第十一页，共355页。12一些常见的分块形式1.第12页/共354页第十二页，共355页。13第13页/共354页第十三页，共355页。14第14页/共354页第十四页，共355页。15第15页/共354页第十五页，共355页。16第16页/共354页第十六页，共355页。172.线性方程组1.2.

3.

第17页/共354页第十七页，共355页。18齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当第18页/共354页第十八页，共355页。19例5第19页/共354页第十九页，共355页。20简化阶梯形矩阵第20页/共354页第二十页，共355页。21续例5第21页/共354页第二十一页，共355页。22Gauss消元法第22页/共354页第二十二页，共355页。23例6第23页/共354页第二十三页，共355页。24例7第24页/共354页第二十四页，共355页。253.向量组的极大无关组和秩第25页/共354页第二十五页，共355页。26例8第26页/共354页第二十六页，共355页。274.矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：第27页/共354页第二十七页，共355页。28例9第28页/共354页第二十八页，共355页。29例10第29页/共354页第二十九页，共355页。30矩阵的等价标准形第30页/共354页第三十页，共355页。31第31页/共354页第三十一页，共355页。32例12：第32页/共354页第三十二页，共355页。33

线性空间和线性变换第一章

第33页/共354页第三十三页，共355页。34第一节线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.第34页/共354页第三十四页，共355页。35如果满足下述公理，

则称V是数域F上的线性空间，

V中的元素称为向量。第35页/共354页第三十五页，共355页。36例1第36页/共354页第三十六页，共355页。37例1（续）第37页/共354页第三十七页，共355页。38线性空间的性质第38页/共354页第三十八页，共355页。39第二节基、维数和坐标如：

在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。第39页/共354页第三十九页，共355页。40一些重要结论第40页/共354页第四十页，共355页。41第41页/共354页第四十一页，共355页。42例2第42页/共354页第四十二页，共355页。43定义（基，维数）第43页/共354页第四十三页，共355页。44注：第44页/共354页第四十四页，共355页。45例3第45页/共354页第四十五页，共355页。46定理1第46页/共354页第四十六页，共355页。47定义（坐标）：第47页/共354页第四十七页，共355页。48例5第48页/共354页第四十八页，共355页。49例6第49页/共354页第四十九页，共355页。50注线性空间的基是有序的。基相当于几何空间中的坐标系。

第50页/共354页第五十页，共355页。51定理2第51页/共354页第五十一页，共355页。52例7第52页/共354页第五十二页，共355页。53例8第53页/共354页第五十三页，共355页。54形式记号第54页/共354页第五十四页，共355页。55形式记号第55页/共354页第五十五页，共355页。56形式记号的性质第56页/共354页第五十六页，共355页。57例9第57页/共354页第五十七页，共355页。58定义(过渡矩阵)第58页/共354页第五十八页，共355页。59过渡矩阵的性质第59页/共354页第五十九页，共355页。60例10第60页/共354页第六十页，共355页。61定理3(坐标变换公式)第61页/共354页第六十一页，共355页。62例11第62页/共354页第六十二页，共355页。63第三节子空间,交与和第63页/共354页第六十三页，共355页。64定理1第64页/共354页第六十四页，共355页。65两类重要的子空间第65页/共354页第六十五页，共355页。66命题：第66页/共354页第六十六页，共355页。67例12第67页/共354页第六十七页，共355页。68例13第68页/共354页第六十八页，共355页。69例14第69页/共354页第六十九页，共355页。70例15第70页/共354页第七十页，共355页。71定理2第71页/共354页第七十一页，共355页。72子空间的交与和第72页/共354页第七十二页，共355页。73子空间的交与和第73页/共354页第七十三页，共355页。74注：交与并的区别第74页/共354页第七十四页，共355页。75定理4（维数定理）第75页/共354页第七十五页，共355页。76例16第76页/共354页第七十六页，共355页。77例17第77页/共354页第七十七页，共355页。78例18第78页/共354页第七十八页，共355页。79直和第79页/共354页第七十九页，共355页。80定理5第80页/共354页第八十页，共355页。81例19第81页/共354页第八十一页，共355页。82例20第82页/共354页第八十二页，共355页。83多个子空间的直和第83页/共354页第八十三页，共355页。84

定理6第84页/共354页第八十四页，共355页。85

第85页/共354页第八十五页，共355页。86第四节线性映射第86页/共354页第八十六页，共355页。87第87页/共354页第八十七页，共355页。88定义：第88页/共354页第八十八页，共355页。89例21第89页/共354页第八十九页，共355页。90例22第90页/共354页第九十页，共355页。91例23第91页/共354页第九十一页，共355页。92注第92页/共354页第九十二页，共355页。93线性映射的性质：第93页/共354页第九十三页，共355页。94第94页/共354页第九十四页，共355页。95例24第95页/共354页第九十五页，共355页。96例25第96页/共354页第九十六页，共355页。97线性变换的运算它们都是线性映射。第97页/共354页第九十七页，共355页。98线性变换的运算的性质：第98页/共354页第九十八页，共355页。99线性映射（变换）的矩阵：第99页/共354页第九十九页，共355页。100例26第100页/共354页第一百页，共355页。101例27第101页/共354页第一百零一页，共355页。102定理8第102页/共354页第一百零二页，共355页。103定理9第103页/共354页第一百零三页，共355页。104例28第104页/共354页第一百零四页，共355页。105定理10其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。第105页/共354页第一百零五页，共355页。106第五节线性映射的值域及核子空间第106页/共354页第一百零六页，共355页。107值域的计算第107页/共354页第一百零七页，共355页。108核子空间的计算第108页/共354页第一百零八页，共355页。109定理12（线性变换的维数定理）第109页/共354页第一百零九页，共355页。110注：对无限维空间，推论不成立。（反例）第110页/共354页第一百一十页，共355页。111例29第111页/共354页第一百一十一页，共355页。112定义（不变子空间）：第112页/共354页第一百一十二页，共355页。113为何要讨论不变子空间？第113页/共354页第一百一十三页，共355页。114为何要讨论不变子空间？第114页/共354页第一百一十四页，共355页。115例30第115页/共354页第一百一十五页，共355页。116线性空间的同构第116页/共354页第一百一十六页，共355页。117第117页/共354页第一百一十七页，共355页。118第118页/共354页第一百一十八页，共355页。119第119页/共354页第一百一十九页，共355页。120第二章内积空间、等距变换第120页/共354页第一百二十页，共355页。121第一节基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C第121页/共354页第一百二十一页，共355页。122例1第122页/共354页第一百二十二页，共355页。123内积的性质第123页/共354页第一百二十三页，共355页。124度量矩阵第124页/共354页第一百二十四页，共355页。125向量的模（长度）第125页/共354页第一百二十五页，共355页。126C-B不等式第126页/共354页第一百二十六页，共355页。127三角不等式第127页/共354页第一百二十七页，共355页。128正交性第128页/共354页第一百二十八页，共355页。129标准正交基第129页/共354页第一百二十九页，共355页。130标准正交基下的内积第130页/共354页第一百三十页，共355页。131Schmidt正交化方法第131页/共354页第一百三十一页，共355页。132例2第132页/共354页第一百三十二页，共355页。133例3第133页/共354页第一百三十三页，共355页。134酉矩阵第134页/共354页第一百三十四页，共355页。135定理1第135页/共354页第一百三十五页，共355页。136Schmidt正交化方法的应用第136页/共354页第一百三十六页，共355页。137注第137页/共354页第一百三十七页，共355页。138矩阵的UT分解第138页/共354页第一百三十八页，共355页。139例4第139页/共354页第一百三十九页，共355页。140定理2第140页/共354页第一百四十页，共355页。141第二节正交补空间第141页/共354页第一百四十一页，共355页。142正交补空间第142页/共354页第一百四十二页，共355页。143正交补空间的计算第143页/共354页第一百四十三页，共355页。144正交补空间的计算第144页/共354页第一百四十四页，共355页。145例5第145页/共354页第一百四十五页，共355页。146一个几何问题空间中点到直线的距离：·第146页/共354页第一百四十六页，共355页。147空间中向量到子空间的距离：第147页/共354页第一百四十七页，共355页。148第148页/共354页第一百四十八页，共355页。149例6第149页/共354页第一百四十九页，共355页。150例7第150页/共354页第一百五十页，共355页。151应用---Fourier系数第151页/共354页第一百五十一页，共355页。152最小二乘解第152页/共354页第一百五十二页，共355页。153第三节等距变换第153页/共354页第一百五十三页，共355页。154例8第154页/共354页第一百五十四页，共355页。155定理7第155页/共354页第一百五十五页，共355页。156关于直线的反射第156页/共354页第一百五十六页，共355页。157欧氏空间中的反射第157页/共354页第一百五十七页，共355页。158镜像变换第158页/共354页第一百五十八页，共355页。159第159页/共354页第一百五十九页，共355页。160例9第160页/共354页第一百六十页，共355页。161第三章

矩阵的相似标准形第161页/共354页第一百六十一页，共355页。162矩阵与线性变换本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第162页/共354页第一百六十二页，共355页。163第一节特征值与特征向量第163页/共354页第一百六十三页，共355页。164矩阵的相似对角化第164页/共354页第一百六十四页，共355页。165线性变换的特征值、特征向量第165页/共354页第一百六十五页，共355页。166线性变换的可对角化问题第166页/共354页第一百六十六页，共355页。167例1第167页/共354页第一百六十七页，共355页。168线性变换的特征值、特征向量的计算第168页/共354页第一百六十八页，共355页。169例2第169页/共354页第一百六十九页，共355页。170定理1第170页/共354页第一百七十页，共355页。171特征多项式的计算第171页/共354页第一百七十一页，共355页。172主子式与子式第172页/共354页第一百七十二页，共355页。173主子式与子式第173页/共354页第一百七十三页，共355页。174特征多项式的计算第174页/共354页第一百七十四页，共355页。175矩阵的迹第175页/共354页第一百七十五页，共355页。176例3第176页/共354页第一百七十六页，共355页。177化零多项式第177页/共354页第一百七十七页，共355页。178第二节Hamilton-Cayley定理第178页/共354页第一百七十八页，共355页。179例4第179页/共354页第一百七十九页，共355页。180例5第180页/共354页第一百八十页，共355页。181最小多项式第181页/共354页第一百八十一页，共355页。182定理5第182页/共354页第一百八十二页，共355页。183例6第183页/共354页第一百八十三页，共355页。184例7第184页/共354页第一百八十四页，共355页。185例8第185页/共354页第一百八十五页，共355页。186第三节可对角化的条件目的：对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。第186页/共354页第一百八十六页，共355页。187已知的判别方法第187页/共354页第一百八十七页，共355页。188线性变换的可对角化问题第188页/共354页第一百八十八页，共355页。189特征子空间第189页/共354页第一百八十九页，共355页。190可对角化的条件第190页/共354页第一百九十页，共355页。191例9第191页/共354页第一百九十一页，共355页。192定理12第192页/共354页第一百九十二页，共355页。193定理13第193页/共354页第一百九十三页，共355页。194例10第194页/共354页第一百九十四页，共355页。195定理14第195页/共354页第一百九十五页，共355页。196例11第196页/共354页第一百九十六页，共355页。197例12第197页/共354页第一百九十七页，共355页。198第四节Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第198页/共354页第一百九十八页，共355页。199Jordan形矩阵第199页/共354页第一百九十九页，共355页。200例13第200页/共354页第二百页，共355页。201Jordan标准形的存在性、唯一性第201页/共354页第二百零一页，共355页。202唯一性的证明思路第202页/共354页第二百零二页，共355页。203定理15第203页/共354页第二百零三页，共355页。204例14第204页/共354页第二百零四页，共355页。205例15第205页/共354页第二百零五页，共355页。206例16第206页/共354页第二百零六页，共355页。207分块矩阵的最小多项式第207页/共354页第二百零七页，共355页。208Jordan标准形与最小多项式第208页/共354页第二百零八页，共355页。209例17第209页/共354页第二百零九页，共355页。210例18第210页/共354页第二百一十页，共355页。211例19第211页/共354页第二百一十一页，共355页。212例20第212页/共354页第二百一十二页，共355页。213例21第213页/共354页第二百一十三页，共355页。214存在性的证明思路第214页/共354页第二百一十四页，共355页。215存在性的证明思路第215页/共354页第二百一十五页，共355页。216存在性的证明思路第216页/共354页第二百一十六页，共355页。217存在性的证明思路第217页/共354页第二百一十七页，共355页。218存在性的证明思路第218页/共354页第二百一十八页，共355页。219存在性的证明思路第219页/共354页第二百一十九页，共355页。220存在性的证明思路第220页/共354页第二百二十页，共355页。221存在性的证明思路第221页/共354页第二百二十一页，共355页。222第五节特征值的分布第222页/共354页第二百二十二页，共355页。223定理20第223页/共354页第二百二十三页，共355页。224例22第224页/共354页第二百二十四页，共355页。225K-区第225页/共354页第二百二十五页，共355页。226例23第226页/共354页第二百二十六页，共355页。227定理21第227页/共354页第二百二十七页，共355页。228例24第228页/共354页第二百二十八页，共355页。229谱半径的估计第229页/共354页第二百二十九页，共355页。230例25第230页/共354页第二百三十页，共355页。231例26第231页/共354页第二百三十一页，共355页。232

应用第232页/共354页第二百三十二页，共355页。233对角占优矩阵第233页/共354页第二百三十三页，共355页。234对角占优矩阵第234页/共354页第二百三十四页，共355页。235第四章Hermite二次型第235页/共354页第二百三十五页，共355页。236第一节H阵、正规阵Hermite二次型与Hermite矩阵标准形惯性定理（唯一性）正定性第236页/共354页第二百三十六页，共355页。237Hermite矩阵、Hermite二次型第237页/共354页第二百三十七页，共355页。238Hermite矩阵、Hermite二次型第238页/共354页第二百三十八页，共355页。239实对称矩阵的性质第239页/共354页第二百三十九页，共355页。240H阵的性质第240页/共354页第二百四十页，共355页。241正规阵第241页/共354页第二百四十一页，共355页。242上三角的正规阵定理4：第242页/共354页第二百四十二页，共355页。243定理5第243页/共354页第二百四十三页，共355页。244推论第244页/共354页第二百四十四页，共355页。245例1第245页/共354页第二百四十五页，共355页。246例2第246页/共354页第二百四十六页，共355页。247第二节Hermite二次型第247页/共354页第二百四十七页，共355页。248第248页/共354页第二百四十八页，共355页。249标准形第249页/共354页第二百四十九页，共355页。250标准形配方法（初等变换法）酉变换法：第250页/共354页第二百五十页，共355页。251惯性定理第251页/共354页第二百五十一页，共355页。252惯性定理第252页/共354页第二百五十二页，共355页。253惯性定理第253页/共354页第二百五十三页，共355页。254规范形第254页/共354页第二百五十四页，共355页。255共轭合同的充分必要条件第255页/共354页第二百五十五页，共355页。256例3第256页/共354页第二百五十六页，共355页。257正定性第257页/共354页第二百五十七页，共355页。258如何建立判别方法第258页/共354页第二百五十八页，共355页。259定理7第259页/共354页第二百五十九页，共355页。260例4第260页/共354页第二百六十页，共355页。261例5第261页/共354页第二百六十一页，共355页。262例6第262页/共354页第二百六十二页，共355页。263其它有定性第263页/共354页第二百六十三页，共355页。264如何建立判别方法第264页/共354页第二百六十四页，共355页。265定理8第265页/共354页第二百六十五页，共355页。266例7第266页/共354页第二百六十六页，共355页。267定理9（奇值分解）第267页/共354页第二百六十七页，共355页。268奇值分解定理的证明第268页/共354页第二百六十八页，共355页。269奇值分解定理的证明第269页/共354页第二百六十九页，共355页。270奇值分解定理的证明第270页/共354页第二百七十页，共355页。271奇值分解定理的证明第271页/共354页第二百七十一页，共355页。272第三节Rayleigh商第272页/共354页第二百七十二页，共355页。273定理10第273页/共354页第二百七十三页，共355页。274例8第274页/共354页第二百七十四页，共355页。275定理11第275页/共354页第二百七十五页，共355页。276定理12（Courant极大极小原理）第276页/共354页第二百七十六页，共355页。277第五章范数和矩阵函数第277页/共354页第二百七十七页，共355页。278本章的目的矩阵函数范数矩阵函数的应用第278页/共354页第二百七十八页，共355页。279第一节范数的概念和例子第279页/共354页第二百七十九页，共355页。280内积与范数第280页/共354页第二百八十页，共355页。281Cn中范数的例子第281页/共354页第二百八十一页，共355页。282更多的例子第282页/共354页第二百八十二页，共355页。283更多的例子第283页/共354页第二百八十三页，共355页。284范数与极限第284页/共354页第二百八十四页，共355页。285范数的可比较性第285页/共354页第二百八十五页，共355页。286第二节矩阵范数第286页/共354页第二百八十六页，共355页。287第287页/共354页第二百八十七页，共355页。288范数的相容性第288页/共354页第二百八十八页，共355页。289定理2第289页/共354页第二百八十九页，共355页。290算子范数第290页/共354页第二百九十页，共355页。291算子范数第291页/共354页第二百九十一页，共355页。292定理3第292页/共354页第二百九十二页，共355页。293定理4第293页/共354页第二百九十三页，共355页。294例1第294页/共354页第二百九十四页，共355页。295例2第295页/共354页第二百九十五页，共355页。296例3第296页/共354页第二百九十六页，共355页。297第三节收敛定理第297页/共354页第二百九十七页，共355页。298矩阵序列的收敛性第298页/共354页第二百九十八页，共355页。299幂序列第299页/共354页第二百九十九页，共355页。300谱半径与范数第300页/共354页第三百页，共355页。301矩阵幂级数第301页/共354页第三百零一页，共355页。302矩阵幂级数第302页/共354页第三百零二页，共355页。303第四节矩阵函数第303页/共354页第三百零三页，共355页。304几个重要的矩阵函数第304页/共354页第三百零四页，共355页。305利用定义计算第305页/共354页第三百零五页，共355页。306例5第306页/共354页第三百零六页，共355页。307Jordan形矩阵的函数第307页/共354页第三百零七页，共355页。308Jordan形矩阵的函数第308页/共354页第三百零八页，共355页。309Jordan块的函数第309页/共354页第三百零九页，共355页。310Jordan块的函数第310页/共354页第三百一十页，共355页。311Jordan块的函数第311页/共354页第三百一十一页，共355页。312例6第312页/共354页第三百一十二页，共355页。313利用Jordan标准形计算第313页/共354页第三百一十三页，共355页。314例7第314页/共354页第三百一十四页，共355页。315定理11第315页/共354页第三百一十五页，共355页。316例8第316页/共354页第三百一十六页，共355页。317待定系数法第317页/共354页第三百一十七页，共355页。318待定系数法第318页/共354页第三百一十八页，共355页。319例9第319页/共354页第三百一十九页，共355页。320例10第320页/共354页第三百二十页，共355页。321矩阵函数的性质第321页/共354页第三百二十一页，共355页。322例11第322页/共354页第三百二十二页，共355页。323例12第323页/共354页第三百二十三页，共355页。324注第324页/共354页第三百二十四页，共355页。325第四节线性微分方程组第325页/共354页第三百二十五页，共355页。326性质第326页/共354页第三百二十六页，共35