选修导数第6讲函数的极值与课件

函数的极值与导数讲师：王凯斌知识要点1．本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值．2．本课难点是极值的综合应用．3．本课易混点是导数等于0的点与极值点的关系．1．极小值点与极小值的定义（1）特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_____，且_________.（2）实质：在点x=a附近的左侧__________，右侧__________.（3）极小值点是：____，极小值是：_____.2．极大值点与极大值的定义（1）特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_____，且_________.都小f′(a)=0f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)点a都大f′(b)=0（2）实质：在点x=b附近的左侧__________，右侧__________.（3）极大值点是：____，极大值是：_____.f′(x)＞0f′(x)＜0点bf(b)3．极值的定义（1）极大值与极小值统称_____.（2）极值反映了函数在某一点附近的_________，刻画的是函数的_________.4．函数在某点取得极值的必要条件函数y=f(x)在点x=

处取得极值的必要条件是_________.极值大小情况局部性质f′(x0)=05．求函数y=f(x)的极值的方法解方程f′(x0)=0，当f′(x0)=0时：（1）如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极小值.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞01．极值概念的理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：

2．极值点与导数为零的点的辨析（1）可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分不必要条件；（2）可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.（3）如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点.典题剖析例1．求函数f(x)=x4-x3的极值【解析】∵f(x)=x4-x3，∴f′(x)=4x3-3x2．令f′(x)=0，即4x3-3x2=0，得x2(4x-3)=0.∴x=0或x=．当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(-∞，0)0(0，)

(，+∞)f′(x)

f(x)

不是极值0+↘↗-↘0-解答此题时的注意点是f′(x)=0的点左右两侧f′(x)异号，解题时极易忽视．例2．若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，求a与b的值.提示：解答题此时应紧扣函数极值的定义.解完方程组后，应把方程组的解代入原函数,根据函数极值的定义验证是否符合题意，进行灵活的取舍.函数极值的综合应用【解析】f(x)=x3+x2-5x+2，f′(x)=3x2+2x-5．由f′(x)=0得x=或x=1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-∞，)

(，1)1(1，+∞)f′(x)f(x)

+0-0+↗↘-1↗提示：解答此题时函数f(x)的图象与y=k有三个不同的交点的实质是k介于函数f(x)的极大值与极小值之间.技巧传播确定函数f(x)的定义域求f′(x)在定义域内的所有根用f′(x)=0的根将定义域分成若干区间，列表求定义域由各个区间内f′(x)的符号，判断极值情况列表求方程的根求导数求极值求导函数f′(x)已知函数极值点或极值求参数的两个注意点极值问题的综合应用技巧极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键.陷阱规避含参函数的极值点问题【解题指导】x(-∞，2)2(2，5)5(5，+∞)f′(x)+0-0+f(x)

↗↘

↗①在解答过程中，①处虽然很简单，但对整个解题过程起到关键作用，是顺利解答本题的前提．在实际考试中，如果①处正确，即使后面的结果错误，至少给3分；如果没有①处，即使后面的结果正确，但解析不完整，最多给3分．这是考试中的得分点．②在解答过程中，②处对解题结果的概述容易漏掉极值点而只说极值，或说成“函数在x=2时取极大值为”的形