控制理论第三章

控制理论第三章第一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析§3-2一阶系统的时间响应

§3-4高阶系统的时间响应§3-1时间响应及系统性能指标

§3-3二阶系统的时间响应§3-5稳定性及其代数稳定判据

§3-6误差分析与计算第三章控制系统的时域分析第二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-1时间响应及系统性能指标

一、时间响应的概念

描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应(TransientResponse)和稳态响应(Steady-StateResponse)组成。瞬态响应

：系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态(或称暂态)响应，也称过渡过程。在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。稳态响应

：第三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、典型实验信号

系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。在分析和设计控制系统时，总是预先规定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些实验输入信号的响应，并以此作为对各种控制系统性能进行比较的基础。实验信号的选取原则：1)具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。2)形式尽可能简单，便于分析处理。3)能使系统在最不利的情况下工作。

§3-1时间响应及系统性能指标

第四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析1.阶跃信号

§3-1时间响应及系统性能指标

阶跃信号相当于一个数值为一常值的信号，在时突然加到系统上。幅值A为1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位阶跃函数的拉氏变换为：阶跃函数如右图所示，定义为图3-1a阶跃信号第五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2．斜坡信号当A＝1时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控制系统中加入一个按恒速变化的信号，其速度为A。

§3-1时间响应及系统性能指标

斜坡函数如右图所示，定义为拉氏变换为：图3-1b斜坡信号第六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析3．加速度信号该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。

§3-1时间响应及系统性能指标

加速度函数如右图所示，定义为拉氏变换为：图3-1c加速度信号第七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析4．脉冲信号若对实用脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲，称作单脉冲信号，记为拉氏变换为：

§3-1时间响应及系统性能指标

脉冲函数如右图所示，定义为其中，脉冲宽度为h，脉冲面积为1。图3-1d脉冲信号第八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析三、瞬态响应指标通常，控制系统的动态性能指标，以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。

§3-1时间响应及系统性能指标

在工程实践中，评价控制系统动态性能的好坏，多用时域的几个特征量来表示。为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征，通常采用下列一些性能指标：延迟时间，上升时间，峰值时间，最大超调量以及调整时间。第九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-1时间响应及系统性能指标

图3-2表示性能指标的阶跃响应曲线：延迟时间：上升时间：峰值时间：最大超调量：调整时间第十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-1时间响应及系统性能指标

1.延迟时间

：响应曲线第一次达到稳定值的一半所需的时间，叫做延迟时间。

响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或从0上升到100%所需的时间都叫做上升时间。对于过阻尼和临界系统(ζ≥1)，通常采用10%～90%的上升时间；对于欠阻尼系统(0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升时间。2.上升时间

：各性能指标定义如下:3．峰值时间

：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间叫做峰值时间。

第十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表示最大相对超调量，定义为4．最大超调量：最大超调量的数值，直接说明了系统的相对稳定性。

§3-1时间响应及系统性能指标

响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取5%或2%。5．调整时间：第十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-2一阶系统的时间响应

一、一阶系统的数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型形式是惯性环节。传递函数为描述一阶系统的微分方程的通式为如图3-3所示的不计质量的弹簧-阻尼系统，若以油压p为输入，以位移x为输出，则表现为一阶系统。描述它的微分方程为图3-3一阶系统第十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析传递函数的一般形式为

(3-1)式中K——系统增益；T——时间常数，具有时间量纲。当K＝1时，典型系统的方块图及其简化形式如图3-4a、图3-4b所示。a)

b)图3-4一阶系统方块图

§3-2一阶系统的时间响应

第十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、一阶系统的单位阶跃响应给一阶系统输入单位阶跃信号，根据式(3-1)进行拉氏反变换，求出微分方程的解即为一阶系统的单位阶跃响应。

为单位阶跃函数(3-2)对上式进行拉氏反变换，得出(3-3)(t≥0)时间响应曲线见图3-5a。§3-2一阶系统的时间响应第十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析图3-5a一阶系统的时间响应时间响应从零值到终值呈指数曲线上升。曲线在t=0的初始斜率为可见，时间常数T是一阶系统重要的特征参数。它表征了系统过渡过程的品质，T越小，惯性越小，系统的响应越快。系统响应的稳态值为

§3-2一阶系统的时间响应

第十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析把t=T代入式(3-3)可得故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么系统的调整时间ts=(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。时间常数决定于系统参数而与输入函数无关。在图3-3所示系统中，

§3-2一阶系统的时间响应

第十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析三、一阶系统的单位斜坡响应图3-5b一阶系统的时间响应单位斜坡函数t的拉氏变换为，代入式(3-2)中可得取上式的拉氏反变换，可得(3-4)系统对单位斜坡输入的时间响应和输入信号表示于图3-5b中。

§3-2一阶系统的时间响应

第十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析误差信号为即当t→∞时，→0，从图中也可以看出，当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等于时间常数T。

§3-2一阶系统的时间响应

图3-5b一阶系统的时间响应第十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析四、一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲的拉氏变换，这时式(3-2)为取其拉式反变换得时间响应曲线如图3-5c所示。图3-5c一阶系统的时间响应

§3-2一阶系统的时间响应

第二十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析五、线性定常系统的重要特征系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分来求出；系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分。这是线性定常系统的特点，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特点。

§3-2一阶系统的时间响应

第二十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-3二阶系统的时间响应

一、二阶系统的数学模型二阶系统是可以用二阶微分方程描述的系统。图2-13所示质量-弹簧-阻尼系统，外力F(t)为输入，位移x为输出，描述它的微分方程为该系统的传递函数为(3-6)上式可以写成(3-7)图2-13第二十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析式中为系统增益，，，和ζ只决定于系统参数而与输入无关。传递函数(3-9)微分方程(3-8)可以用两个特征参数来普遍地描述各种二阶系统的动态特性，即无阻尼自然频率和阻尼比ζ。借助这两个参数，把二阶系统的数学模型写成如下标准形式

§3-3二阶系统的时间响应

第二十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析典型二阶系统的方块图及其简化形式示于图3-6a，图3-6b。a)

b)图3-6二阶系统框图

§3-3二阶系统的时间响应

第二十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、二阶系统的单位阶跃响应对单位阶跃输入，，从式(3-9)可以求出系统单位阶跃响应的拉氏变换

(3-10)对上式进行拉式反变换，可得二阶系统的单位阶跃响应。从式(3-9)可求得二阶系统的特征方程(3-11)它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：(3-12)

§3-3二阶系统的时间响应

第二十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析下面分别对二阶系统在，，以及四种情况下的瞬态响应进行讨论，假定初始状态为零。1．，临界阻尼情况由式(3-12)得：，系统有两个相重的负实数极点，如图3-7a所示。

§3-3二阶系统的时间响应

图3-7第二十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析这时式(3-10)变成对上式进行拉式反变换，得到

§3-3二阶系统的时间响应

图3-7a表示了二阶系统在临界阻尼状态的单位阶跃响应，它既无超调，也无振荡。第二十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2．，过阻尼情况由式(3-12)得，系统有两个不相等的负实数极点，示于图3-7b左图。

§3-3二阶系统的时间响应

图3-7二阶系统极点分布与对应的阶跃响应第二十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析把式(3-10)写成部分分式

§3-3二阶系统的时间响应

第二十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析求上式的拉式反变换，得到(3-14)它有两个指数衰减项，当ζ较大时，一个极点远离虚轴，它的影响很小，可以忽略不计。此时，二阶系统就近似于一个惯性环节。图3-7b表示过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。从图中可见，瞬态响应无超调，无振荡，过渡过程比临界阻尼时长。

§3-3二阶系统的时间响应

第三十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析3．，欠阻尼情况由式(3-12)得式中，，称为阻尼自然频率。这时系统有一对共轭复数极点，如图3-7c所示。

§3-3二阶系统的时间响应

图3-7二阶系统极点分布与对应的阶跃响应第三十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-3二阶系统的时间响应

这时式(3-10)可以写成求上式的拉式反变换，由拉氏变换表中查出注意到，可得(3-15)第三十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析其中由上式可以看出，在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率，其振幅按指数曲线衰减，者均由系统参数ζ和决定。

§3-3二阶系统的时间响应

4.，零阻尼状态

将代入式(3-15)可得(3-16)式(3-16)说明二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为ωn。第三十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析从上面的分析可以看出频率和的物理意义。

§3-3二阶系统的时间响应

是无阻尼时()二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为无阻尼自然频率；而是欠阻尼()时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；相应地把称为阻尼振荡周期。显然，<，且随着ζ的增大，的值相应地减小。第三十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-3二阶系统的时间响应

根据式(3-13)、式(3-14)、式(3-15)和式(3-16)，对应不同的阻尼比ζ，可以画出二阶系统在单位阶跃信号下的一簇瞬态响应曲线，如图3-8所示。图3-8二阶系统的单位阶跃响应曲线从图中可以看出：

1)当，二阶系统的瞬态响应具有单调上升的特性；

2)当，二阶系统振荡特性加强；当减小到时，呈现出等幅振荡。第三十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析系统的调整时间ts，在单调上升的特性中，以时为最短；在欠阻尼特性中，对应时的瞬态响应，具有比时更短的调整时间，而且振荡也不严重。因此，一般说来，希望二阶系统工作在的欠阻尼状态。

§3-3二阶系统的时间响应

第三十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析三、二阶系统的瞬态响应指标下面就二阶系统，当时，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式。1．上升时间tr

根据定义，当时，。由式(3-15)得即

§3-3二阶系统的时间响应

第三十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析由于，所以则所以(3-17)图3-9角θ的定义角θ的几何意义示于图3-9。当时，当时，。由式(3-17)可知，当阻尼比ζ一定时，若要求上升时间tr较短，需要使系统具有较高的无阻尼自然频率ωn。

§3-3二阶系统的时间响应

第三十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2．峰值时间tp

根据式(3-15)可知，将对时间求导，并令其等于零，可求得峰值时间tp，即可得因为峰值时间对应于第一次峰值超调量，所以

(3-18)

§3-3二阶系统的时间响应

第三十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析阻尼振荡周期，故峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半。从式(3-18)可以看出，当ζ一定时，ωn越大，tp越小，反应越快；当ωn一定时，ζ越小，tp也越小。3．最大超调量Mp

由Mp的定义可知最大超调量发生在峰值时间处，根据式(3-15)，可以求出

§3-3二阶系统的时间响应

第四十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析上式表明，最大超调量只是阻尼比的函数，而与无阻尼自然频率ωn无关，ζ越小，Mp越大，当时，Mp＝1，即而当增大到时，Mp＝0。4．调整时间ts

图3-10瞬态响应曲线的包络线对于二阶欠阻尼系统，瞬态响应为式(3-15)，瞬态响应曲线见图3-10，曲线是该瞬态响应曲线的包络线。

§3-3二阶系统的时间响应

第四十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析包络线的时间常数为。瞬态响应的衰减速度，取决于时间常数的数值。当采用2%的允许误差范围时，ts近似等于系统时间常数的四倍，即(3-20)当采用5%的允许误差范围时，ts近似等于系统时间常数的三倍，即(3-21)由此可见，大，ts就小；当ωn一定时，ts与ζ成反比。与、和ζ的关系正好相反。通常ζ值是根据允许最大超调量来确定，所以调整时间ts可以根据无阻尼自然频率ωn来确定。这样，在不改变最大超调量的情况下，通过调整无阻尼自然频率ωn，可以改变瞬态响应的时间。

§3-3二阶系统的时间响应

第四十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析综合上述分析，可将二阶系统的特征参量ζ、ωn与瞬态响应各项指标间的关系归纳如下：(1)二阶系统的瞬态响应特性由系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn共同决定，欲使二阶系统具有满意的瞬态响应指标，必须综合考虑ζ和ωn的影响，选取合适的ζ和ωn。(2)若保持ζ不变而增大ωn，对超调量无影响，却可以减小峰值时间tp、延迟时间td和调整时间ts，即可以提高系统的快速性。所以增大系统的无阻尼自然频率对提高系统性能是有利的。

§3-3二阶系统的时间响应

(3)若保持ωn不变而增大ζ值，则会使超调量Mp减小，增加相对稳定性，减弱系统的振荡性能。在时，随着ζ的增大，ts减小；而在时，随着ζ的增大，tr、ts均增大(式(3-20)和(3-21)为近似式，精确计算表明，在时，ts随ζ的增大而增大)，系统的快速性变差。第四十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析(4)综合考虑系统的相对稳定性和快速性，通常取，这时系统的超调量在25%到1.5%之间。若，系统超调严重，相对稳定性差；若，则系统反应迟钝，灵敏性差。当时，超调量()和调整时间均较小，故称为最佳阻尼比。

§3-3二阶系统的时间响应

第四十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析(1)试确定该系统的特征参量ωn和ζ；(2)试求出系统的最大超调量和调整时间；(3)若采用最佳阻尼比，试确定系统的开环放大倍数K值。某单位反馈的位置控制系统，其开环传递函数为，开环放大倍数。

例3-1

解：系统的闭环传递函数为

标准形式为

第四十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析由此题可以看出，若采用最佳阻尼比，必须降低系统的开环放大倍数。(1)比较上面两式，由，可得由，可得

(2)最大超调量由式(3-19)确定调整时间由式(3-21)确定(允许误差为5%)

(3)由于，，求出第四十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-2某系统如图3-11所示，试求其无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ，超调量Mp，峰值时间tp，调整时间ts(进入±5%的误差带)。解：对于图3-11所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。第四十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析rad/sss第四十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析设单位反馈系统的开环传递函数为试求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。例3-3欲求系统响应，可先求出系统的闭环传递函数，然后求出输出变量的象函数，再进行拉氏反变换即得相应的时域瞬态响应。解：1)当单位阶跃输入时，，则所以第四十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2)线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号的响应求导得出。

当单位脉冲输入时，则第五十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析由于求出的系统传递函数不是典型的二阶振荡环节，其分子存在微分作用，因此采用公式求其上升时间和最大超调量将引起较大误差，故宜按定义求其值。解：例3-4设一单位反馈控制系统的开环传递函数为

试求系统对单位阶跃输入的响应，并求其上升时间和最大超调量。第五十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析当时，，则进行拉氏反变换，得第五十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析解之，得

最大超调量为最大峰值与稳态值之差，而峰值处导数为零。

令，得

，则第五十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析§3-4高阶系统的时间响应

一、闭环主导极点高阶系统的闭环传递函数为(3-22)为确定系统的零、极点，把上式的分子分母因式分解为(3-23)第五十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析瞬态响应分析的前提是系统为稳定系统，全部极点都在s平面的左半部。如果全部极点都不相同(实际系统通常皆如此)，对于单位阶跃输入，有(3-24)(3-25)上面诸式中，、分别为系统的闭环零、极点，为极点处的留数。系统的瞬态响应的拉氏反变换为§3-4高阶系统的时间响应

第五十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析(3-26)由上式可知，每个闭环极点确定了一个瞬态响应分量，该分量的相对重要性，由该极点处的留数的大小和指数衰减系数决定。如果一个闭环极点靠近一个闭环零点，因而对应该极点的瞬态响应项的系数就会很小，一对靠得很近的极点和零点，彼此将会互相抵销。对应于遥远极点的瞬态响应项很小，并且衰减很快。§3-4高阶系统的时间响应

第五十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析闭环主导极点

：在高阶系统的闭环极点中，如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点，而且其他闭环极点与该极点的实部之比超过五倍以上，则这种极点称为闭环主导极点。

距虚轴较近而周围又没有零点的极点所对应的瞬态响应项，幅度大而且衰减慢，因而在系统的瞬态响应中起主导作用。§3-4高阶系统的时间响应

第五十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、高阶系统的瞬态响应形式因为高阶系统的闭环极点中，既有实数极点，又有共轭复数极点，而一对共轭复数极点可以形成一个s的二阶项，所以可以把式(3-24)改写成(3-27)式中。如果闭环极点是互不相同的，可将上式展成下面的部分分式：§3-4高阶系统的时间响应

第五十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析§3-4高阶系统的时间响应

高阶系统响应曲线的一些例子如图3-12所示。图3-12高阶系统的阶跃响应曲线取上式的拉氏反变换，可得高阶系统瞬态响应的一般形式：(3-28)第五十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-5稳定性及其代数稳定判据

控制系统能实际应用的首要条件是系统必须稳定，分析系统的稳定性是控制理论的重要组成部分。

一、稳定性的定义稳定性：稳定性是指控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平衡状态的性能。第六十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析a)

b)

c)图3-13系统稳定性示意图

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第六十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、判别线性系统稳定性的基本准则线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它与系统的输入信号无关。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第六十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析研究稳定性问题，就是研究系统去掉扰动后的运动情况，即研究式(3-29)的齐次微分方程式

(3-30)

§3-5稳定性及其代数稳定判据

式中——系统输出；——系统输入。描述线性系统的动态微分方程一般形式为(3-29)第六十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析上式的特征方程为

(3-31)其解的一般式为(3-32)式中k1,k2,…,kn——由初始条件决定的积分常数；s1,s2,…,sn——特征方程的根。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

若式(3-31)中有q个实根、2r个复根，且，则式(3-31)可以改写成(3-33)第六十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s平面的左半平面（如图3-14所示）。图3-14复平面上的根考察控制系统的传递函数式G(s)(nm)控制系统的特征方程式就是其传递函数的分母等于零的方程。因此在求得系统的传递函数后，取其分母等于零，便可分析系统的稳定性。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第六十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析三、代数稳定判据

§3-5稳定性及其代数稳定判据

代数稳定判据方法是一种不需求解系统的特征方程，而是通过对特征方程的系数进行分析来判别系统是否有正实根或具有正实部的复数根，从而确定系统是否稳定的一种代数方法。第六十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析1．劳斯稳定判据

控制系统的特征方程如式(3-31)所示系统稳定的必要条件是：系统特征方程(3-31)的各项系数皆大于零。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

检验系统稳定的充分条件的步骤如下：（1）将系统特征方程式(3-31)的系数按下列形式排成两行，即（2）列写劳斯计算表

若系统的特征方程为第六十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析（3）根据劳斯计算表第一列中各项的符号，确定特征方程根中具有正实部的个数。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第六十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-5解：设闭环控制系统的传递函数是

判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根数。系统的特征方程是上式各项系数均为正。列出劳斯计算表：s5114200

s4288800

s3-30-200

(改变符号一次)s274.7800

(改变符号一次)s1121

s0800

第六十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析数表第一列有两次符号变化，闭环系统有两个具有正实部的根，故不稳定。如果将特征方程解出，可得其根为其中确有两个带正实部的根，与用劳斯判据的结果一致。运用劳斯判据时的两种特殊情况。(1)在劳斯计算表第一列中出现零的情况

解决办法：用一个小的正数代替0进行计算，再令0求极限来判别第一列系数的符号。(2)劳斯计算表中出现某一行各项全为零的情况

解决方法：将该零行上面的一行的各项组成一个“辅助方程式”。将该方程对s求导，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按斯计算表的写法继续写完以后各项。第七十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-6已知系统特征方程为判别系统是否稳定并求不稳定根的数目。解：特征方程各项系数为正。列出劳斯计算表：当0时，－，而。第一列有两次变号，故特征方程有两个正根。s5132

s4261

s30()2/3

(改变符号一次)s2(6-3)/1

(改变符号一次)s1

s01

第七十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-7解：已知控制系统的特征方程如下试判定系统的稳定性特征方程各项系数为正。列出劳斯计算表如下：因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，写出辅助方程如下s6182016s5(21216)

s5168(约简)s4(21216)

s4168(约简)s300

第七十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析将A(s)对s求导，得再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳斯计算表：从劳斯计算表的第一列可以看出，各项并无符号变化，因此特征方程无正根。但因

s3行出现全为零的情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过求解辅助方程A(s)得到：s6182016s5168

s4168

s3(412)

s313(约简)

s238

第七十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析此式的两对共轭虚根为这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上，因此该控制系统处于所谓临界稳定状态。若控制系统的特征方程缺项，或系数不全为正，则系统一定不稳定。

第七十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2．赫尔维茨稳定判据

一个系统稳定，也就是系统特征方程式(3-31)全部根实部为负的必要和充分条件是：(1)系统特征方程式(3-31)各项系数全部为正值。(2)将系统特征方程式各项系数排成如下的行列式：(3-35)

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第七十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析当主行列式(3-35)及其主对角线上的各子行列式均大于零时，即则方程无正根，系统稳定。

§3-5稳定性及其代数稳定判据

第七十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-8解：若已知控制系统的特征方程为试判别系统是否稳定。根据特征方程，列写赫尔维茨行列式由△得各子行列式：因各子行列式都大于零，故系统稳定。第七十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析例3-9解：一个反馈控制系统的特征方程为试确定使该闭环系统稳定的K值。可利用劳斯判据求出K值范围，劳斯表和计算过程如下：s312K+3

s25K10s1

s010

得K>0.5即为所求。

第七十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析

§3-6误差分析与计算

本节目的掌握稳态误差的计算方法。研究影响误差的因素，指出提高系统精度的途径。

建立闭环控制系统的误差和稳态误差的概念。

第七十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析一、误差与稳态误差的基本概念1．误差:

系统的误差是指被控对象的希望输出信号与实际输出信号之差，即。

系统的偏差信号，即输入信号与反馈信号之差，能够直接或间接地反映系统的希望输出值与实际输出值之差，而且在实际工程系统中便于测量，因而，用系统的偏差信号来定义系统的误差更有实际意义。

误差信号的拉氏变换为图3-15闭环系统的误差

§3-6误差分析与计算

第八十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析在一般情况下，两种定义下误差之间的关系为：或(3-39)

2．稳态误差:

误差信号的稳态分量，即

(3-40)

根据式(3-38)，可以用拉氏变换终值定理来求稳态误差(3-38)

对于单位反馈，两种定义下的误差表达式是一致的：

§3-6误差分析与计算

第八十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析3.给定稳态误差：在给定输入信号(以下简称输入信号)作用下产生的稳态误差，表征了系统的精度。如图3-15所示系统，在输入信号的作用下，误差信号为据上式可求得给定稳态误差的传递函数为(3-42)

据式(3-41)，给定稳态误差为(3-43)

给定稳态误差与开环传递函数的结构、参数及输入信号的形式有关。

§3-6误差分析与计算

第八十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析4．外部扰动引起的稳态误差

图3-16控制系统方块图图3-16所示的系统。该系统同时受到输入信号和扰动信号的作用

令(3-44)

§3-6误差分析与计算

第八十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析令

(3-45)

(3-46)输入信号和扰动信号共同作用下的总误差为总的稳态误差为

(3-47)(3-48)

§3-6误差分析与计算

第八十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析假定扰动量为阶跃函数

则系统在扰动信号单独作用下的稳态误差

在一般情况下，

所以

扰动输入信号引起的稳态误差和扰动量的大小成正比，增大扰动作用点以前的前向通道传递函数，可以减少扰动误差。

§3-6误差分析与计算

第八十五页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析5．内部扰动引起的稳态误差

如图3-15所示系统，假定输入信号为恒值，该系统的稳态输出为(3-50)

系统稳态输出的变化

稳态输出的相对增量

(3-51)

§3-6误差分析与计算

第八十六页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析由于开环传递系数一般较大：，则(3-52)

分析上式可知(1)反馈系数变化，将使系统的稳态输出发生同样大小(相对值)的变化，因此，为保证系统的精度，检测元件(包括反馈通道环节)应该准确恒定。(2)前向通道环节变化引起的误差，近似与开环传递系数成反比，由于一般较大，所以的变化对系统的精度影响不大，对它的准确度和恒定性要求可以降低，这是负反馈系统的特点。

§3-6误差分析与计算

第八十七页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析二、误差计算影响系统稳态误差的主要因素是系统的结构、参数和输入信号的性质，为了计算稳态误差，需要引入系统的类型和静态误差系数的概念。1．系统的类型闭环系统的开环传递函数可以写成如下形式

(3-53)

式中，——时间常数；

§3-6误差分析与计算

第八十八页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析——开环放大倍数；——表示包括个串联的积分环节，。将式(3-53)代入式(3-43)中，可得

(3-54)

分析上式可知，当系统的输入信号一定时，稳态误差值和时间常数无关，和开环放大倍数及开环传递函数中包含的积分环节个数有关。特别是值决定了稳态误差为零、有限值和无穷大三种情况。因此，可以把系统按值分类为：1)=0，无积分环节，称之为0型系统；2)=1，有一个积分环节，称之为Ⅰ型系统；3)=2，有两个积分环节，称之为Ⅱ型系统；以此类推。

§3-6误差分析与计算

第八十九页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2．静态误差系数和稳态误差计算系统的开环放大系数K直接影响其稳态误差的大小，为了计算稳态误差，引入静态误差系数的概念。系统的稳态误差为：

1)静态位置误差系数系统对单位阶跃输入的稳态误差称为位置误差，即

§3-6误差分析与计算

第九十页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析静态位置误差系数定义为位置误差可用表示

系统的开环传递函数可以写成对于0型系统

§3-6误差分析与计算

第九十一页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析对于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统图3-17所示为单位反馈系统的单位阶跃响应曲线，其中图3-17a为0型系统；图3-17b为Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统。图3-17单位阶跃响应曲线a)

b)

§3-6误差分析与计算

第九十二页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析2)静态速度误差系数系统对单位斜坡输入的稳态误差称为速度误差，即静态速度误差系数定义为

则速度误差为

(3-58)

(3-59)

§3-6误差分析与计算

第九十三页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析对于0型系统

对于Ⅰ型系统

对于Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统

§3-6误差分析与计算

第九十四页，共一百零五页，2022年，8月28日第三章控制系统的时域分析图3-18为单位反馈系统对单位斜坡输入