控制系统的稳态误差

控制系统的稳态误差第一页，共七十四页，2022年，8月28日稳定性过渡过程性能(动态性能)准确性第二页，共七十四页，2022年，8月28日h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts第三页，共七十四页，2022年，8月28日主要内容误差的基本概念-偏差与误差稳态误差系数动态误差系数提高稳态精度的措施第四页，共七十四页，2022年，8月28日一阶系统单位阶跃响应误差第五页，共七十四页，2022年，8月28日一阶系统单位阶跃响应误差第六页，共七十四页，2022年，8月28日一阶系统加速度响应误差第七页，共七十四页，2022年，8月28日R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)图1典型反馈系统结构图1/H(s)-e’(t)C(t)r(t)b(t)e(t)系统的误差e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差

一、稳态误差的概念典型系统结构如图所示第八页，共七十四页，2022年，8月28日其误差定义有两种形式：（1）输入端定义法：其中：r(t)为给定输入，b(t)为系统反馈信号。通常将e(t)称为系统的偏差信号。其中：Cr(t)为系统输出量的希望值，C(t)为实际输出值。（2）输出端定义法：第九页，共七十四页，2022年，8月28日希望值情况下偏差信号：对于扰动信号N(s)而言,希望的情况就是扰动信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。“希望值”的基本概念：希望的状态一则系统在输入信号作用下的希望输出为：第十页，共七十四页，2022年，8月28日从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值，即。此时，上述两种定义统一为：第十一页，共七十四页，2022年，8月28日对于非单位反馈系统，若设定义2的误差为E’(s),定义1的误差为E(s)，则E’(s)与E(s)的关系：可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E’(s)可以直接或间接地由E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。通常采用第1种误差定义，e(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。第十二页，共七十四页，2022年，8月28日稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。基本公式第十三页，共七十四页，2022年，8月28日二、稳态误差的计算

对于线性系统，响应具有叠加性，不同输入信号作用于系统产生的误差等于每一个输入信号单独作用时产生的误差的叠加。对于图所示系统，控制信号r(t)和扰动信号n(t)同时作用于系统。第十四页，共七十四页，2022年，8月28日系统在控制信号作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量第十五页，共七十四页，2022年，8月28日系统在扰动作用下的稳态误差稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量第十六页，共七十四页，2022年，8月28日从上式得出两点结论：1.稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号n(t)的形式有关；2.稳态误差与系统的结构及参数有关。第十七页，共七十四页，2022年，8月28日如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)-三、给定输入作用下的稳态误差第十八页，共七十四页，2022年，8月28日在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为：

第十九页，共七十四页，2022年，8月28日开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节个数来定义开环传递函数的型。当……时，分别称系统为0型、1型、2型……系统。而G(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。开环传递函数：第二十页，共七十四页，2022年，8月28日因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置误差系数。1、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,系统的稳态误差为令称Kp为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为第二十一页，共七十四页，2022年，8月28日（1）对于0型系统，

（2）对于1型系统（或高于1型的系统）第二十二页，共七十四页，2022年，8月28日可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标(如5％)。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。第二十三页，共七十四页，2022年，8月28日R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(10*[1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*[1],[1.67,1]),1),0:.01:35)第二十四页，共七十四页，2022年，8月28日2、单位斜坡输入时的稳态误差因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。对于单位斜坡输入，此时系统的稳态误差为令Kv称为稳态速度误差系数。稳态误差可表示为：第二十五页，共七十四页，2022年，8月28日(1)对于0型系统(2)对于1型系统第二十六页，共七十四页，2022年，8月28日上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。(3)对于2型系统（或高于2型的系统）第二十七页，共七十四页，2022年，8月28日输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)第二十八页，共七十四页，2022年，8月28日(1)对于0型系统，于是稳态误差可表示为3、单位抛物线输入时的稳态误差对于单位抛物线输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态加速度误差系数。稳态误差可表示为：第二十九页，共七十四页，2022年，8月28日(2)对于1型系统，(3)对于2型系统，第三十页，共七十四页，2022年，8月28日

(4)对于3型系统（或高于3型的系统）以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。第三十一页，共七十四页，2022年，8月28日误差第三十二页，共七十四页，2022年，8月28日稳态误差系数和稳态误差减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性第三十三页，共七十四页，2022年，8月28日4、给定输如下的稳态误差计算（1）线性叠加原理给定输入信号增加多少倍，则稳态误差也增加相同的倍数；若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为第三十四页，共七十四页，2022年，8月28日R(s)-C(s)1.先判稳例1设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解（2）稳态误差系数、、和描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法，可以理解为稳态性能指标。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。由图求得系统的特征方程为：第三十五页，共七十四页，2022年，8月28日由特征方程列劳斯表

21+0.5K3K

要使系统稳定，必须

K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，当0<K<6时，系统是稳定的。K2.再求稳态误差由图可知，系统的开环传递函数为第三十六页，共七十四页，2022年，8月28日系统的稳态误差为

上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K>6时，系统将不稳定。求稳态误差求稳态误差系数系统的稳态误差系数分别为：第三十七页，共七十四页，2022年，8月28日例2

系统结构如图所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。第三十八页，共七十四页，2022年，8月28日第二步，求稳态误差ess，因为系统为Ⅱ型系统，根据线性系统的齐次性和叠加性，有

故系统的稳态误差ess=ess1+ess2=0.1。第三十九页，共七十四页，2022年，8月28日例3解：第四十页，共七十四页，2022年，8月28日第四十一页，共七十四页，2022年，8月28日五、干扰信号作用下的稳态误差扰动信号n(t)作用下的系统结构图如图所示

扰动信号n(t)作用下的误差函数为

第四十二页，共七十四页，2022年，8月28日稳态误差

若，则上式可近似为干扰信号作用下产生的稳态误差essn除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前(干扰点与误差点之间)的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作用点之后的传递函数无关。第四十三页，共七十四页，2022年，8月28日例4设控制系统如图2所示，其中给定输入，扰动输入（和均为常数），试求系统的稳态误差。R(s)-+N(s)C(s)图2第四十四页，共七十四页，2022年，8月28日解当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。所以给定稳态误差为令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为第四十五页，共七十四页，2022年，8月28日由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即），可以减小系统的扰动稳态误差。所以扰动稳态误差为该系统总的稳态误差为第四十六页，共七十四页，2022年，8月28日为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图2中给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即：第四十七页，共七十四页，2022年，8月28日系统总的稳态误差为

比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中）。第四十八页，共七十四页，2022年，8月28日解：给定信号下的稳态误差扰动信号下的稳态误差系统总的稳态误差：例5第四十九页，共七十四页，2022年，8月28日例6:控制系统的结构图为试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。-第五十页，共七十四页，2022年，8月28日解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为当H(s)=0.5时,则系统稳态误差第五十一页，共七十四页，2022年，8月28日若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?当时,上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=∞第五十二页，共七十四页，2022年，8月28日稳态误差小结：1.公式小结（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式给定输入单独作用时第五十三页，共七十四页，2022年，8月28日扰动单独作用时给定输入和扰动共同作用时（6）（7）（8）（9）（10）（11）第五十四页，共七十四页，2022年，8月28日R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)r(t)b(t)e(t)1.稳态误差与系统输入信号r(t)或扰动信号n(t)的形式有关；2.稳态误差与系统的结构及参数有关。第五十五页，共七十四页，2022年，8月28日稳态误差系数和稳态误差减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性第五十六页，共七十四页，2022年，8月28日sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部终值定理例7第五十七页，共七十四页，2022年，8月28日六、动态误差系数方法前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。根据定义误差信号的拉氏变换式为：将误差传递函数Φe（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得第五十八页，共七十四页，2022年，8月28日得误差信号拉氏变换的一般表达式为：在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：定义为动态误差系数。第五十九页，共七十四页，2022年，8月28日特别称C0为动态位置误差系数；C1为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数。说明：

“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律。定义为动态误差系数。第六十页，共七十四页，2022年，8月28日动态误差系数的计算方法：多项式除法：1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；2）用多项式除法逐项求出C0，C1，C2，…开环传递函数分母除分子，得：误差传递函数第六十一页，共七十四页，2022年，8月28日误差：比较一下：也就是动态误差系数第六十二页，共七十四页，2022年，8月28日例8：已知单位反馈系统的开环传递函数为：系统一：系统二：求动态误差系数。解：根据公式得：第六十三页，共七十四页，2022年，8月28日用长除法系统一：动态误差系数：C0=0，C1=0.1，C2=0.09，C3=-0.019，…………第六十四页，共七十四页，2022年，8月28日用长除法系统二：系统二动态误差系数：C0=0C1=0.1C2=0.19C3=-0.039…………第六十五页，共七十四页，2022年，8月28日例9：系统的开环传递函数解：误差传递函数：求