拉普拉斯分析

拉普拉斯分析第一页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.1.1拉普拉斯变换定义4.1拉普拉斯变换f(t)=eatu(t)a>0

的傅里叶变换？将f(t)乘以衰减因子e-t，得：不存在!若，则有令第二页，共一百四十四页，2022年，8月28日推广到一般情况：（s=+j）定义：求傅里叶逆变换原函数拉普拉斯正变换拉普拉斯逆变换原函数第三页，共一百四十四页，2022年，8月28日拉普拉斯变换符号表示及物理含义：物理意义：信号f(t)可分解成复指数信号est的线性组合。F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。符号表示：（正变换）（逆变换）或第四页，共一百四十四页，2022年，8月28日积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。4.1.2拉普拉斯变换的收敛域（双边拉氏变换）（单边拉氏变换）！第五页，共一百四十四页，2022年，8月28日（1）（2）求下面各式拉普拉斯变换：例

解(1)不同的信号形式却又相同的变换结果，这就是收敛域的缘故。说明第六页，共一百四十四页，2022年，8月28日1.单边拉普拉斯变换存在的条件（收敛域）对任意信号f(t)，若满足上式，则f(t)应满足：(>0)拉氏变换存在的充要条件为：收敛条件第七页，共一百四十四页，2022年，8月28日收敛区j0S平面右半平面左半平面O绝对收敛坐标第八页，共一百四十四页，2022年，8月28日2.双边变换收敛域双边信号可表示为：对左边信号和右边信号分别求其收敛域：右边信号求解类同单边信号；左边信号满足：收敛区j0

O第九页，共一百四十四页，2022年，8月28日3.单、双边拉普拉斯变换收敛域比较特别指出，双边变换含有左边及右边信号时，其收敛域是右图；如果仅是左边信号，则收敛域为左开的；如果仅是右边信号，双边和单边变换收敛域一样，为右开区域。！单边变换收敛域双边变换收敛域第十页，共一百四十四页，2022年，8月28日计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域收敛域为全S平面不存在不存在例第十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日（1）单边指数型函数etu(t)4.2常见信号的拉普拉斯变换同理：第十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日（2）正弦信号第十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日(3)阶跃函数u(t)由单边指数信号变换结论，则有：第十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日(4)单位冲激信号及其高阶导数第十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日(5)t的正幂函数tn根据以上推理,可得(n为正整数)第十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日常用信号的单边拉氏变换（1）第十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日常用信号的单边拉氏变换（2）第十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日常用信号的单边拉氏变换（3）第十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日常用信号的单边拉氏变换（4）第二十页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.3拉普拉斯变换的基本性质第二十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日拉氏变换的基本性质表（1）线性时域微分时移频移尺度变换频域微分第二十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日拉氏变换的基本性质表（2）时域积分初值定理终值定理时域卷积频域卷积第二十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日拉氏变换性质1.线性2.时移性第二十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日(1)右移性

即指平移项右移，否则，依据单边变换定义，就会把横轴左边部分截去，就不满足时移性了。因此，时移性质准确是指右移性。例如：求下面各式的单边拉普拉斯变换

解：前两项的单边变换相同，只需把三角函数按三角公式展开，再利用基本变换求解，最后一项利用时移性质可以求解。第二十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日对应的单边变换为：

最后一项对应的单边变换应为：

第二十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日即指信号的左移情况，依照u(t)变化，把信号分解为简单信号之叠加，再对简单信号求解。(2)左移性例：

求下面式子的单边拉普拉斯变换；解：两式的单边变换相同，展开三角函数，有由此式可以很容易地求得其对应变换。有第二十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日(3)求单边周期信号的拉普拉斯变换其中，为的从零处开始取值的第一个周期，使用第一个周期函数依次向右平移并相加，则组成单边周期函数：利用时移性有：

单边周期信号可表示为：设第二十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日解：观察图形的时移关系，有如下对应变换：例：

试求图中不同的时移对应变换t0t0t0t0第二十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日例试求x(t)半波正弦函数的拉氏变换0T/2T

tx(t)E解：先求第一个周期对应的函数如左图，并分解第一个周期函数为xa(t)、

xb(t)

，如下式：0T/2tx1(t)E0T/2TtE0T/2T

tE第三十页，共一百四十四页，2022年，8月28日对应拉氏变换为：

因而，半波正弦函数的拉氏变换第三十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日3.复频域平移移性例:求下式拉氏变换解:

由于

再根据频移性质有：根据时移性质有：

第三十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.尺度变换（比例性）例

已知L[x(t)]=X(s)，试求解：先时移性后比例性由时移性再由比例性第三十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日再由时移性由比例性另解：先比例性后时移性第三十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日5.复频域微分证明:第三十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日6.时域微分

该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程，可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态响应，而对于傅里叶变换却没有初态项出现，也就无法直接利用傅里叶变换直接求零输入响应，这是复频域性质的一个优点，在分析连续系统时极其有用。

设，则：第三十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日证明:由定义知同理可得第三十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日依此类推,可得若f(t)为有始函数，则第三十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日10t1-10t解：两式的图形如右图，分别求其微分并做拉氏变换如下：例：已知第三十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日虽然两式的单边变换相同，但所求信号微分项对应的拉氏变换却不同;对于双边变换x2(t)收敛域包括两部分：Re(s)<0（t<0部分），Re(s)>-a（t>0部分）必须有交点。！第四十页，共一百四十四页，2022年，8月28日7.时域积分证明:

由定义第四十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日所以若积分下限由开始例如：已知则第四十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日8'.复频域积分（补充）证明:若第四十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：求拉氏变换解：所以第四十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日8.卷积性质证明方法类似于傅里叶变换。利用卷积性质求复杂信号通过线性时不变系统时的响应，可以把复杂信号分解为简单信号的卷积，然后变换到复频域求拉普拉斯变换的积，再逆变换到时域。这样，可使问题简单化。第四十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：已知求解：由逆变换到时域有：第四十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日9.初值定理结合公式有：设f(t)没有冲激函数及其导数出现，则在0（或）点存在泰勒展开式有：证明:第四十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日如果s→∞则有：同理，可以求解高阶微分对应的初值定理，有交换该式求和与积分的顺序，并利用泰勒展开式，得：第四十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日

初值定理条件必须存在,时域中意味着f(t)

本身不能包含冲激.但由于的存在,不影响的值,可把移去后再应用初值定理,即只取真分式。本例中注意：应用初值定理先求真分式

例：求初值解：第四十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日10.终值定理两边取s趋于零的极限证明:由时域微分性质设且存在，则f

(t)的终值为：由于第五十页，共一百四十四页，2022年，8月28日条件存在,相当于在复频域中的极点都在S平面的左半平面和原点仅有单极点。虚轴上只能在原点，如：因此于是即：第五十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日解:因为X(s)的极点为s=0,-1和-2,满足终值定理的条件，因此有：注意：求终值首先判断极点位置其极点s=在s平面的右半平面，不能用终值定理。否则得到是错误的.例如：给定,试求的终值第五十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.4拉普拉斯逆变换计算拉普拉斯逆变换方法：1.利用典型信号变换对求解（查表法）2.采用部分分式展开法3.利用复变函数中的留数定理第五十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日1.查表法:

利用典型信号的变换对（查表）及性质例:该例子说明假分式化简的第一步是化成真分式4.4.1单边信号的拉普拉斯逆变换第五十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:求原函数解：例:该例子说明含指数的无理式化简是利用时移性质求解第五十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:求原函数解：根据上例结果，及积分性质有：第五十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：

采用部分分式展开法，求下列的反变换2.部分分式展开法对分母复杂的信号化为典型信号，再使用典型函数变换求解第五十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日解：（1）中X(s)为有理真分式，极点为一阶极点。因此，逆变换为：式中：第五十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日由于逆变换为：式中：第五十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日X(s)为有理假分式,将X(s)化为有理真分式：第六十页，共一百四十四页，2022年，8月28日(1)F(s)为有理真分式(m<n)，极点为一阶极点部分分式展开法归纳对于信号形为：有三种情况：第六十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日(2)F(s)为有理真分式(m<n)，极点为r重阶极点第六十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日试证：r重根系数公式

可通过对应项系数相等或公式法得到，上式两边同乘有：证明：若D(s)=0只有r重根，则D(s)可以记为：第六十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日依次类推：第六十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日不同重根的拉氏反变换可通过频域微分性质得到：如果D(s)=0有复重根，可以用类似于复单根的方法导出相应的反变换关系式。如D(s)有二重复根，则可展开为：第六十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日(3)F(s)为有理假分式(mn)为真分式，根据极点情况按(1)或(2)求解。对于s的n幂次反变换如下：第六十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：

求下列F(s)的反变换第六十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日解：第六十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日令s2=q,因此第六十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日k2,k3用待定系数法求第七十页，共一百四十四页，2022年，8月28日(1)留数定理

设G(s)在闭合区域D上，除了有限个极点外，处处解析，则3.留数法第七十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日(2)约当引理如果满足条件：故拉普拉斯变换可写为：则：第七十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日特别注意：根据约当条件有：F(s)必须是真分式根据Jordan引理，对于单边变换有具体求解方法：（1）单极点时（2）多重极点时第七十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:留数法求原函数解：二重根为：故：第七十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.4.2双边拉普拉斯变换及其逆变换对于因果信号，单边变换和双边变换相同双边拉普拉斯变换对如下：双边拉普拉斯变换条件：第七十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日双边信号可以分解为左边信号与右边信号之和：对于右边信号，其拉普拉斯变换存在条件为：对于左边信号，其拉普拉斯变换存在条件为：对于双边信号，其拉普拉斯变换存在条件为带状区域：第七十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:求下式双边变换的拉普拉斯变换及其收敛域解：对于右边信号有其拉普拉斯变换及收敛域:对于左边信号有其拉普拉斯变换及收敛域:对于双边信号其拉普拉斯变换及带状收敛域:第七十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日双边信号求解双边信号可写为（1）右边信号可以写为：可依据单边拉普拉斯变换变换求解。（2）左边信号可以写为：其求解方法为：先转换为右边信号，并求出对应的拉普拉斯变换根据双边拉普拉斯变换性质，令s换为-s，求出左边信号正变换.第七十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日双边拉普拉斯反变换求解方法有两种：部分分式法和留数法注意：

部分分式法和留数法都要先展开为真分式在求解。（1）部分分式法例:求下式不同收敛域的反变换:解：展开后有三个区域第七十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日对于区域，对应-1和-2根对应为左、右边信号的拉氏变换：对于区域，对应两根都是右边信号的拉氏变换：对于区域，对应-1和-2根对应为左边信号的拉氏变换：第八十页，共一百四十四页，2022年，8月28日1）留数定理设G(s)在闭合区域D上，除了有限个极点外，处处解析，则（2）留数法第八十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日2）约当引理如果满足条件则根据Jordan引理，对于右边信号有第八十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日特别注意：根据约当条件有：F(s)必须是真分式对于左边信号有（2）多重极点时具体求解方法：（1）单极点时第八十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:留数法求下式的不同收敛域的反变换解:复频域对应三个收敛域为：

对于区域，逆时针左圆弧包含-1和-2极点，代表为右边信号（t>0)，顺时针右圆弧没有包含极点，依据留数定理有：故有：第八十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日

对于区域，逆时针左圆弧、顺时针右圆弧分别包含-1和-2极点，代表为右边信号（t>0）和左边信号（t<0），依据留数定理有：二者相加则有：第八十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日

对于区域，逆时针左圆弧不包含极点，没有右边信号（t>0）；顺时针右圆弧包含-1、-2两个极点，代表了左边信号（t<0），依据留数定理有：二者相加则有：第八十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.5拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系因果乘衰减因子第八十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日由于复频域包含虚轴也就包含了满足傅里叶变换的条件，因此傅氏变换存在，可以直接使用代换.（1）收敛域包括虚轴，即：

因果信号的拉氏变换和傅氏变换关系!第八十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日傅氏变换不存在，但是拉氏变换存在。（2）收敛域不包含虚轴，即：

第八十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日有傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用，包含奇异函数项，应该使用下式求解:（3）收敛域恰在虚轴上，即：

分别代表分式展开时对应在虚轴上的极点分式系数和分式展开时对应在虚轴上的极点。例：已知，求其傅立叶变换。解：由于收敛域在虚轴上，极点为0，对应系数为1，由代换公式知：因此：第九十页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：利用复频域和傅里叶变换关系，直接求下式对应的傅里叶变换：

解：式中有两个对偶极点，且都在虚轴上，可以利用收敛域在虚轴上公式求解，有：第九十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：直接由F(s)求F(j

)解：1)收敛域-4包含j

轴2）收敛域的收敛边界位于j

轴第九十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.6系统函数与频率响应特性1.系统函数2.电路系统的拉普拉斯变换分析3.系统零级点分布与其时域、频域响应关系4.系统稳定性系统函数是描述连续系统的重要参数，通过它可以了解系统的零极点分布、时域特性和系统稳定性等。我们首先分析下面问题，再引出系统函数概念及系统函数频响特性。第九十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日1.系统的复频域与分析方法联系时域微分方程时域响应y(t)S域响应Y(s)拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程S域代数方程4.6.1系统函数第九十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日二阶系统响应的S域求解已知f(t)，y(0-)，y’(0-)，求y(t)。(1)经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程；(2)求解s域代数方程，求出Yx(s),Yf(s)；(3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式。求解步骤：第九十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日第九十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日解：对微分方程取拉氏变换可得例：系统为激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-

)=3，求响应y(t)。第九十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日第九十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日2.系统函数H(s)(1)

定义：系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。(2)H(s)与h(t)的关系：

(t)

h(t)第九十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日(3)求零状态响应：h(t)H(s)f(t)F(s)(4)求H(s)的方法：

①由系统的冲激响应求解：H(s)=L[h(t)]③由系统的微分方程写出H(s)②由定义式第一百页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.6.2电路系统的拉普拉斯变换分析时域复频域第一百零一页，共一百四十四页，2022年，8月28日R、L、C串联形式的s域模型第一百零二页，共一百四十四页，2022年，8月28日例:图示电路初始状态为vc(0-)=-E,

求电容两端电压vc(t).解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程第一百零三页，共一百四十四页，2022年，8月28日回路电流:电容电压:第一百零四页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.6.3系统零、极点分布与其时域、频域响应的关系

零极点与系统时域特性、频响特性关系;零点、极点分布;零极点与冲激响应;零极点与频率响应特性的关系.第一百零五页，共一百四十四页，2022年，8月28日1、零极点与系统的频域特性、时域特性关系（1）零、极点分布图极点零点xxxxxxjωσO第一百零六页，共一百四十四页，2022年，8月28日（2）零极点与冲激响应的关系.31)位于s轴的单极点sjwOu(t)et

u(t)1-1e-t

u(t)111xxxf(t)f(t)f(t)ttt第一百零七页，共一百四十四页，2022年，8月28日2)共轭单极点xsjwo-11sin(t)e-t

u(t)sin(t)etu(t)sin(t)u(t)1-1xxxxxttt第一百零八页，共一百四十四页，2022年，8月28日3)二重根情况sjwO-111-1xxxxxx第一百零九页，共一百四十四页，2022年，8月28日图中第一、二、三列图分别对应极点在左半平面、虚轴和右半平面的波形；第一、二、三行图对应的分别为共轭根、单根和实轴上的重根所对应的波形。s小结第一百一十页，共一百四十四页，2022年，8月28日极点对h(t)影响（1）极点在左半复平面时，单位冲激响应衰减；（2）极点在右半复平面时，单位冲激响应增强；（3）极点在复平面虚轴上且只有单极点时，单位冲激响应呈等幅震荡；若有重极点时在虚轴上，则单位冲激响应振幅增强；（4）极点在复平面原点时，单位冲激响应为阶跃信号；（5）实际研究的大多是因果系统，收敛域是大于某个常数（极点在该收敛域的左边），其时域对应的冲激响应函数没有反因果的分量。第一百一十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日(3)零极点与系统频响特性

频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。系统稳定时，令H(s)中

s=jω，则系统频响特性幅频特性相频特性第一百一十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日系统频响特性对于零极增益表示的系统函数当系统稳定时，令s=jω，则得第一百一十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日系统函数的向量表示第一百一十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：已知，求系统的频响特性。解:第一百一十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.6.4系统稳定性

因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要条件是系统函数H(s)的全部极点位于的左半s平面。连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是：

稳定性的判断还可以用罗斯－胡维茨准则（不用求出极点）或者萘氏（用于反馈系统）第一百一十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：判断下述系统是否稳定（1）极点为s=-1和s=-2，都在s左半平面

显然输出也有界，故系统稳定。若激励为有界输入u(t)，则其输出为：解:第一百一十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日（2）极点为±j0，是虚轴上的一对共轭极点。显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。若激励为有界输入sin(0t)u(t)，则其输出为：第一百一十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日稳定性判断方法：罗斯（Routh-Hurwitz）判据

（适用极点未知情况）系统分母：罗斯阵：其中：第一百一十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日Routh-Hurwitz判断方法:R-H阵一共有n+1行，其中，前两行为多项式的奇数、偶数项系数构成，从第三行开始，每一行上的列数比上一行少一列，运算中出现空位部分补零代替，一直到最后两行为一列，且最后一行的值为。罗斯判据表征系统为稳定的充要条件是：R-H阵中第一列元素全部为正。第一百二十页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：利用R-H阵，求下面系统稳定时的参数K范围解：

R-H阵如图所示：由于第一列需要大于0，则有：第一百二十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.7系统的模拟系统的基本联接形式： 系统的级联；系统的并联,；反馈环路系统的3种模拟框图结构： 直接型结构；级联型结构；并联型结构

线性时不变因果系统，可以用微分方程描述，即对实际的物理系统进行了模型化；为研究实际的物理系统，还需要通过实际的模拟实验来研究物理系统，此时无需实验室内用模拟装置组建与物理系统相同的微分方程，即实现数学意义上的模拟。表示LTI因果系统的方法有方框图模拟，以及信号流图模拟。第一百二十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日1)系统的级联1.系统的基本联接形式4.7.1系统的方框图第一百二十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日2)系统的并联第一百二十四页，共一百四十四页，2022年，8月28日3)反馈环路第一百二十五页，共一百四十四页，2022年，8月28日2.系统的3种模拟框图结构H1(s)N阶LTI连续时间系统的系统函数为设m=n,并将H(s)看成两个子系统的级联,即H2(s)第一百二十六页，共一百四十四页，2022年，8月28日1）直接型结构这两个子系统的微分方程为用加法器、乘法器和积分器实现这两个方程即得系统的直接型模拟方框图。第一百二十七页，共一百四十四页，2022年，8月28日（设m=n）第一百二十八页，共一百四十四页，2022年，8月28日2）级联型结构画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式:第一百二十九页，共一百四十四页，2022年，8月28日3）并联型结构画出每个子系统直接型模拟流图,然后将各子系统并联。将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式第一百三十页，共一百四十四页，2022年，8月28日例：画出系统的模拟方框图解:(a)直接型57F(s)Y(s)510S-1S-1S-1第一百三十一页，共一百四十四页，2022年，8月28日(b)级联式55F(s)Y(s)12S-1S-1S-1第一百三十二页，共一百四十四页，2022年，8月28日(c)并联式S-1S-1S-120.55/64/3F(s)Y(s)5第一百三十三页，共一百四十四页，2022年，8月28日4.7.2信号流图

方框图可以在复频域描述LTI系统，同样，信号流图也可以描述LTI系统，有人把信号流图称为简化的方框图。这里信号流图包括以下内容：信号流图术语及基本性质;信号流图的