2023版高考数学考点48正态分布试题解读与变式

考点48正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【命题规律】在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题.【典型高考试题变式】正态分布例1.【2023课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．〔1〕假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；〔2〕一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．〔ⅰ〕试说明上述监控生产过程方法的合理性；〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和〔精确到0.01〕．附：假设随机变量服从正态分布，那么，，．【分析】〔1〕根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，那么零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.〔2〕〔i〕判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，假设小即合理；〔ii〕根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值.【解析】〔1〕抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.〔2〕〔i〕如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原那么.【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，那么在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．【答案】【变式2】【广西南宁2023届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量〔单位：千克〕与该地当日最低气温〔单位：〕的数据，如下表：x258911y1210887〔1〕求出与的回归方程；〔2〕判断与之间是正相关还是负相关；假设该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；〔3〕设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，，.②，，假设～，那么，.【解析】〔1〕因为令,，,所以，所以所以〔或者：〕所以所求的回归方程是【数学思想】①数形结合思想．②转化与化归思想.【温馨提示】①曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X≤a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【典例试题演练】1.【2023云南大理统测】2023年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，数学考试成绩〔试卷总分值为150分〕．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，那么此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为〔〕A．80B．100C．120D．200【答案】D【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知，成绩不低于分的学生人数约为人，应选D.2.【2023年第三次全国大联考】某次数学考试的成绩服从正态分布，那么114分以上的成绩所占的百分比为〔附：,)A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，故，应选D．3.【2023山西晋城市模拟考试】展开式中的常数项为,且,那么〔〕(附：假设随机变量,那么,)A．B．C．D．【答案】B4.设随机变量δ服从正态分布N〔3，7〕，假设p〔δ＞a+2〕=p〔δ＜a－2〕，那么a=〔〕A．1B．2 【答案】C【解析】由假设p〔δ＞a+2〕=p〔δ＜a－2〕，那么5.随机变量X服从正态分布N〔3，1〕，且P〔l≤X≤5〕=0．6826，那么〔〕A．0．1588 B．0．1587 C．0．1586 D．0．1585【答案】B【解析】依题意，应选B.6.【2023河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，那么的值为〔〕A.0.49B.0.48C【答案】D【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以，那么，所以，应选D.【2023荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布，假设，那么函数没有极值点的概率是〔〕A. B.C.D.【答案】C【解析】由无相异实根得，因此函数没有极值点的概率是，选C.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e(x∈R)，那么这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2【答案】B【解析】f(x)＝eq\f(1,\r(2π)×2)e，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，应选B.三个正态分布密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f(〔x－μi〕2,2σeq\o\al(2,i))(x∈R，i＝1，2，3)的图象如下图，那么()A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【答案】D【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，那么σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，那么eq\f(1,\r(2π)σ1)＝eq\f(1,\r(2π)σ2)＞eq\f(1,\r(2π)σ3)，即σ1＝σ2＜σ3.应选D.(2023·石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如下图，且P(X≥3)＝0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，那么落入阴影局部的点的个数的估计值为()附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，那么P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544)．A．12076B．13174【答案】B11.【2023年原创押题预测卷02〔山东卷〕】，且，那么假设，那么.【答案】【解析】因为，故由可得，解得，故.由可得，由正态曲线的对称性可知，所以.12.【2023四川资阳模拟】随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，那么P(X＞4)＝_____．【答案】0.2；【解析】由题意结合正态分布的性质可知：，那么.13.【2023湖北省黄石市调研】随机变量服从正态分布，且，那么___________．【答案】0.3【解析】14.【2023广东省汕头市模拟】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.〔1〕为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判〔表示相应事件的概率〕；①；②；③.评判规那么为：假设同时满足上述三个不等式，那么设备等级为甲；仅满足其中两个，那么等级为乙；假设仅满足其中一个，那么等级为丙；假设全部不满足，那么等级为丁，试判断设备的性能等级.〔2〕将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.〔ⅰ〕从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；〔ⅱ〕从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.〔2〕由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件〔i〕从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，依题意，故.〔ii〕从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2故.15.(2023·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标