计算方法考题B07(答案)

精品文档西安交通大学 研究生考题考试 考查 成绩课程 计算方法（B） 考试日期 2007-12-30学院姓名学号1、（4分）浮点数系F(10,5,2,3)中共有1080001个数（包括0），实数3.1415926⋯⋯和100在该数系中的浮点化数fl()=0.31416E1，3fl(100)=0.33333E2，在浮点数系F(10,5,2,3)中计算3fl()fl(100)0.36475E2；32、（4分）按数值积分的复化梯形公式计算得：T40.94451,T80.94568。由此可估计误差：I(f)T81(T8T4)0.00039；33、（4分）设函数p(x)x3qx2rxs,若p[0,1,t]1,那么p[1,2,t]3；100010004、（4分）矩阵A1/2100，则A11/2100，且A125，1/30101/3010121/40011/4001A3/2，范数意义下的条件数Cond(A)=9/4；5、（4分）用四等分法计算f(x)x24x2的极小点，若以[0，8]区间为初始搜索区间，那么第一步删去部分区间后保留的搜索区间为：[0,4]；第二步保留的区间为：.[1,3]；6、（6分）已知如下分段函数为三次样条，试求系数A,B,C：。1欢迎下载精品文档3Axx12S(x)22xBx21x31x0222xCx2x30x1则A=1/2，B=3/2，C=3/2；7、（8分）求满足下述插值条件的插值多项式p(x)x-1012y(x)-2-112y(x1)xiyi[,][,,][,,,][,,,,]12011解：建立差商表110011211/22211/23/45/12p(x)2(x1)1(x1)x25(x1)x2(x1)2128、（8分）已知yf(x)的数据表如下：xi-2-1012yi00.20.50.81求一次式p(x)axb，使得p(x)为f(x)的最小二乘一次近似；121111111解：G10,GT2101,212502.5GTG10,GTY02.6。2欢迎下载精品文档GTGb2.5a2.6b0.5,a0.26p(x) 0.26x 0.5。3欢迎下载精品文档9、（10分）将如下线性方程组的系数矩阵 A作Crout分解，即分解为矩阵乘积LU形式（L下三角、U单位上三角矩阵），并求解该线性方程组。x12x22x37x13x24x3x4102x27x37x44x12x211x314x4212207134110l211解：l31002774l4111211142

122071213277409145l32 2l42 0

122071220711213l43312132352352x19145011111220112201112111121A213502315/30103111091110、（10分）线性方程组：x1 2x2 2x3 1x1 x2 x3 32x1 2x2 x3 5考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性；解：12202222A111,J101det(IJ)113(J)022122022又，det(IGS)detIDE1FdetDE1[(DE)F]0等价于解：22det(DE)F13424(2)2(GS)2；22结论：Jacobi 迭代收敛，Gauss-Seidel迭代不收敛。。4欢迎下载精品文档11、（10分）方程x3x2110在1.5邻近有根x，首先讨论迭代xk1(xk1)2的收敛性；其次对此迭代实施改善，若不收敛，使改善后的迭代收敛； 若收敛，使改善后的迭代收敛加速； ( 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236)解：(x)(x1)1/2,'(x)1/2(x1)3/2，取区间1.4,1.6，显然x1.4,1.6。31此时， '(x)'(1.6)(1.61)22

1 1 52 0.6 3

1.076 1, x [1.4,1.6]，因此(x)x(x)(x)'()xxxxx[1.4,1.6]1所以，迭代xk1(xk1)2不收敛；改善：取'(1.5)1(1.51)2

32

1 12 1.4142 0.51(x)x(x1)21.414x，(x)2.4141迭代xk1(xk),x01.5必收敛。12、（14分）试求如下数值积分公式的结点xi(i0,1,,n)及求积系数Ai(i0,1,,n)，使公式具有最高代数精度，并求其误差：1n2f(x)dxAif(xi)（n0,1)x1i0解：方法一具有最高代数精度的求积公式必是 Gauss型求积公式，对 (x) x2,积分区间(1,1)，先求相应的正交多项式。内积：1x2f(x)g(x)dx(f,g)10(x)1(x0,0)1(x)x0x(0,0)0,0)12dx2(x0,0)1x2xdx0,1(x)x(x10013(x1,1)]1(x)(1,1)2(x)(x1)1(x)10(x)[x0(x)(1,1)(0,0)112xxdx2(x1,1)x2xxxdx0,(1,1)x115。5欢迎下载精品文档10,132(x)x2355n0，结点：x012dx212f(x)dx20，A0xxf(0)1313代数精度为1E(f)rf''()令f(x)x2有r2!1202x2x2dx135因此r1，由此得误差公式：E(f)1f"()55n1，结点：x03/5,x13/53/5dx求积系数A0x2l0(x)dxx2x1111123/53A1x2l1(x)dxx2x3/5dx1111123/5311[f(3/5)f(3/5)]x2f(x)dx13代数精度为3E(f)rf(4)()令f(x)x4有r4!1x2x4dx1[(3)2(3)2]81355725811f(4)()因此r4!，由此得误差公式：E(f)725525525方法二： 待定系数法1x2f(x)dxn01取f(x)1f(x)x

A0f(x0)2A030 A0x0解得：A02,x001x2f(x)dx2f(0)313将f(x)x2代入，等式不再成立。因此代数精度为1.令f(x)x2有r2!x2x2dx20211351，由此得误差公式：1因此rE(f)f"()551n1x2f(x)dxA0f(x0)A1f(x1)1。6欢迎下载精品文档f(x)123A0A1f(x)x0A0x0A1x1f(x)x225A0x02A1x12f(x)x3A0x03A1x130解得：A0A11x03,x13；公式：3,5511f(3)f(3)，将f(x)x4代入，等式不再成立。x2f(x)dx5513因此代数精度为3.误差：由于12f(x)dx135)f(35)E(f)rf(4)()1xf(3令f(x)x4，有r4!22(9)268，因此r1，由此得误差公式：17325725175525E(f)f(4)()52513、（14分）解常微分方程初值问题 y f(t,y), a x b, y(a) y0的一个算法（Milne公式）有如下形式：yi 1 yi3h(0fi 1fi 1 2fi 2)1）确定系数 , 0,1, 2，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估 -修正-校正-改进”公式：yi1yih[fi25fi119fi9f(ti1,yi1)],E(ti,h)19h5y(5)(i)24720解：yi1y(ti1),Taylor展开y(ti1)y(tih)yihyi1h2yi1h3yi1h4yi(4)1h5yi(5)O(h6)2!3!4!5!yi3y(ti3h)yi(3h)yi1(3h)2yi1(3h)3yi2!3!1(3h)4yi(4)1(3h)5yi(5)O(h6)4!5!h0fi1h0yih1fi1h1y(tih)h1yih21yi1h31yi1h41yi(4)1h51yi(5)O(h6)23!4!。7欢迎下载精品文档h2fi2h2y(ti2h)h2yi2h22yi2h32yi8h42yi(4)16h52yi(5)O(h6)3!4!11 39292

01201221112222

183yi1yi34h[2fi2fi12fi]43383E(ti,h) y(ti1) yi1h4yi(4)4!1h5yi(5)5!1h5yi(5)5!14h5yi(5)45

1[1(3h)4yi(4)4![1(3h)5yi(5)5!h5yi(5)5!O(h6)

1h4(4)yi(4)88h42yi(4)]3!333!1h5(4)yi(5)816h52yi(5)]O(h6)4!334!O(h6)112h5yi(5)O(h6)35!预估：pi1yi34h[2fi2fi12fi]3校正：yi1yih[fi25fi119fi9f(ti1,pi1)]24对应局部截断误差公式：y(ti1)pi114h5yi(5)O(h6),y(ti1)yi119h5y(5)()45720两式相减yi1pi1243h5y(5)()h5y(5)()720(yi1pi1)72024314720pi1)224pi1)y(ti1)pi1(yi1(yi145243243y(ti1)yi119720(yi1pi1)19(yi1