2023届高考数学黄金考点精析精训考点09导数的运算及其几何意义理

考点9导数的运算及其几何意义【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；会用课本给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单的函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如的导数〕2.命题方向预测：导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，根底是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)切线问题求参数．(4)切线的综合应用．3.课本结论总结：1.根本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法那么〔1〕[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；〔2〕[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；〔3〕(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线和斜率，即.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．4.名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原那么进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰中选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法那么，通常称为链条法那么，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环.5.课本经典习题：(1)新课标A版选修2-2第6页，例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度〔单位：℃〕为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【经典理由】结合具体的实例，给出了结论：反映了原油温度在时刻附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率.新课标A版选修2-2第17页，例4求以下函数的导数〔1〕；〔2〕；〔3〕其中，均为常数；【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法.6.考点交汇展示：(1)导数与函数图象相结合例1.【2023届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】函数在上可导，其局部图象如下图，设，那么以下不等式正确的选项是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以两点连续的斜率大小，在点处的切线斜率与点的切线斜率之间，，应选B.(2)导数与不等式相结合例2.【2023届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】函数为自然对数的底数.〔1〕过点的切线斜率为，求实数的值；〔2〕当时，求证：.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：(1)对函数求导，由题意可知点A在函数f(x)图像上，=2可求得a的值。〔2〕即，构造函数g,x>0,利用导数证明。【考点分类】热点1导数的运算1.函数的导函数为,且满足,那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以选B.2.是的导函数，且，那么实数的值为〔〕A．B．C．D．1【答案】B【解析】由题意可得，由可得，解之得，应选B.3.【2023届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】曲线在点处切线为，那么等于()A.B.C.4D.2【答案】C【解析】由题意可得,而==，选C.【方法规律】导数运算时，要注意以下几点：尽可能的把原函数化为幂函数和的形式；遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量；求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量.热点2导数的几何意义1.【2023届江西省高三阶段性检测二】曲线在点处的切线方程是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得,那么切线的斜率为，又所以切线方程为：，即应选：D.2.曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为〔〕A．B．C．和D．【答案】C.【解析】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，应选C．3.【2023高考新课标2理数】假设直线是曲线的切线，也是曲线的切线，那么．【答案】【方法规律】曲线的切线的求法：假设曲线过点，求曲线过点的切线那么需分点是切点和不是切点两种情况求解．(1)点是切点的切线方程为．(2)当点不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点的坐标代入切线方程求出；第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程．热点3导数的几何意义的应用1.【2023届山东、湖北局部重点中学高三第一次联考】点P在曲线C:上，那么曲线C在P处切线的倾斜角的取值范围是_________.【答案】【解析】由，所以2.【2023届广东省中山市第一中学高三第一次统测】假设函数与函数有公切线，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，设切点分别是，所以切线方程分别为：，化简为，所以消，得令，，所以f(x)在单调递减，，，填.3.函数〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕如果过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕.曲线在点处的切线方程为:.〔2〕.，即.由题意,上述关于方程有三个不同的实数解.记【解题技巧】导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如：因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题；利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可.【易错点睛】利用导数解决恒成立或存在性问题的根本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到别离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外，在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题.【热点预测】1.【2023高考山东理数】假设函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称具有T性质.以下函数中具有T性质的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当时，，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，应选A.2.【2023浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如下图，那么函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．3.【2023届江西省莲塘一中高三9月】设曲线(∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，那么的值为().A.B.－1C.D.1【答案】B4.设函数是奇函数的导函数，，当时，，那么使得成立的的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】记函数，那么，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，那么；当时，，那么，综上所述，使得成立的的取值范围是，应选A．5.【2023届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】函数假设直线过点,且与曲线相切,那么直线的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】设切点为那么切线方程为，从而斜率解得所以的方程为即应选C.6.【2023届山东、湖北局部重点中学高三第一次联考】曲线恰好存在两条公切线，那么实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】设直线为它们的公切线，联立可得①求导可得，令可得，所以切点坐标为，代入可得②.联立①②可得，化简得。令，，在内单调递增，在内单调递减，。有两条公切线，方程有两解，，所以答案为D.7.函数，那么曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，，切线方程，即.8.，为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，那么点A的纵坐标为_________．【答案】.9.【2023届河南省南阳一中高三上第三次考】经过原点作函数图像的切线，那么切线方程为__________．【答案】y=0或9x+4y=0【解析】由题可得．设切线的斜率为〔1〕当切点是原点时所以所求曲线的切线方程为〔2〕当切点不是原点时，设切点是那么有又由①②得方程组无解，故曲线的切线方程是故答案为10.【2023届江苏省南通中学高三10月月考】函数，假设曲线在点处的切线经过圆：的圆心，那么实数的值是________.【答案】【解析】由题意可得：，且，据此可得，切线方程为：，圆的圆心为，切线过圆心，那么：.11.偶函数在R上的任一取值都有导数，且，那么曲线在处的切线的斜率为．【答案】．12.函数的图象在点处的切线方程是，那么．【答案】【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知，有点必在切线上，代入切线方程，可得，所以有．13.点在曲线〔其中为自然对数的底数〕上，为曲线在点处的切线的倾斜角，那么的取值范围是．【答案】【解析】由导数的几何意义，又因为，所以，故.14.【2023届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上三校联考】设函数，假设函数在处的切线方程为．〔Ⅰ〕求实数的值；〔Ⅱ〕求函数在上的最大值．【答案】(I)和.(II).【解析】试题分析