数学教学要教什么

数学教学要教什么第一页，共三十页，2022年，8月28日胡适说，一个真正的开明进步的国家，不是一群奴才造成的，是要有独立个性，有自由思考的人造成的，

第二页，共三十页，2022年，8月28日问题与思考１．举例说明概念的两种编码模型２．在逻辑推理的过程中，概念和判断的使用必须满足什么条件？３．举例说明什么是抽象，什么是概括，抽象和概括的区别与联系．第三页，共三十页，2022年，8月28日第三节数学形象思维数学形象思维的心理元素数学表象的特征数学形象思维的形式第四页，共三十页，2022年，8月28日一.数学形象思维的心理元素(一)数学形象思维的心理元素是数学表象.

数学形象思维的心理元素不是数学物象，数学物象仅仅是数学形象思维的物质基础之一，是外部的根源。知觉形象受制于直接呈现的数学物象，当数学物象呈现在主体面前时，主体内部产生相应的知觉形象，一旦离开了数学物象，主体内部的知觉形象就随之消失。知觉形象也不是数学形象思维的心理元素。数学形象思维的心理元素不是具体的语言符号图形

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第五页，共三十页，2022年，8月28日(二)什么是数学表象?我们把主体在数学活动中的心象叫做数学表象（mathematicalimage）。数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象。它是通过逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象。第六页，共三十页，2022年，8月28日(三)数学表象的分类1.按材料内容的不同可分为图形表象:是人脑对几何图形感知而形成的表象.图式表象:是对数学式子、结构、关系、模型感知而形成的表象.2.按创造性可分为记忆表象:是指客体的一种主观经验（视觉的、听觉的等等)这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域中。创造表象:是对一个客体的主观经验，而这个客体对于经历过这种经验的人来说，从来没有作为一种刺激物存在过，它是一种想象出来的客体。

第七页，共三十页，2022年，8月28日(三)数学表象的分类3.按其构成的不同可分为

单象:是指单个的表象，它也是最简单的表象。单象具有单个事物的形、质等属性。

复合象:是两个或两个以上的单象的组合。

4.按抽象层次可以相对地分为

低级表象和高级表象。变换的思想、化归的观念、方程的观点和追求简单化的心理倾向等数学观念就是最高层次的数学表象。第八页，共三十页，2022年，8月28日二.数学表象的特征数学表象的特征主要有：形象性、主观性、灵活性、抽象概括性和创造性。（一）形象性数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活动中的心象，它是一种理想化了的形象，因而具有形象性的特征。数学表象不如具体形象那样明晰，它是模糊的。数学表象的形象性表现出多样性，不管是数学概念、数学命题还是数学推理论证，不仅都有其宏观的整体（或综合）形象，而且还存在着许多从不同的角度观察所产生的不同形象。第九页，共三十页，2022年，8月28日（二）主观灵活性数学表象源于对数学物象的知觉，因而它是以个人以往的主观经验为基础的。除了那些可以物化的数学语言、图形或实物模型的表象外，它是私人的，易变的，模糊的，是不容易进行交流的。数学表象作为主体内在的“图画”，是一个高度发达的动力系统，它能灵活而迅速地进行组合转化。第十页，共三十页，2022年，8月28日（三）抽象概括性数学的抽象概括性决定了数学表象必然具有抽象概括性的特征。数学表象主要源于视知觉，视知觉具有抽象概括的功能。所以，数学表象具有抽象概括的特征。第十一页，共三十页，2022年，8月28日（三）抽象概括性承认数学表象存在着从具体的记忆表象到抽象的创造表象的层次结构，就意味着承认数学表象具有抽象概括的功能。形象的抽象是一个心理表象的形成过程，它把层次不同的或相互分离的“抽象物”整合成一个表象，能在更高的层次上整体地体现事物的结构和关系。数学语言的抽象则是在形象抽象之上的再抽象，具体表现为数学表象同主体的分离，即将数学表象物化为数学语言。第十二页，共三十页，2022年，8月28日（四）创造性数学表象是建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息的在大脑中的储存，它具有灵活易变的特点，能为主体对其进行自由的比较、选择、分解、整合加工，从而将我们从死板的真实中解放出来，引发新的结构、新的概念和新的关系。

第十三页，共三十页，2022年，8月28日三.数学形象思维的形式数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象。

（一）数学表象的形成面对具体的客观事物，在感知觉和经验的作用下，人们在脑中可以形成单个的表象，在此基础之上，从不同的单象中通过形式结构特征的概括而形成观念性的数学表象，这个过程就是数学表象的形成。

第十四页，共三十页，2022年，8月28日（二）数学表象的分解与组合在复杂的背景中识别出基本图形第十五页，共三十页，2022年，8月28日（二）数学表象的分解与组合在复杂的背景中识别出基本图形第十六页，共三十页，2022年，8月28日（二）数学表象的分解与组合

2.把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式第十七页，共三十页，2022年，8月28日（二）数学表象的分解与组合3.在解决问题的过程中，表象的分解与组合不是孤立的，而是联合起作用的。第十八页，共三十页，2022年，8月28日（二）数学表象的分解与组合第十九页，共三十页，2022年，8月28日(三)联想

联想（association）是由一事物想到另一事物的心理过程。具体地说，联想就是将头脑中相分离的表象联系在一起，由一种已有的表象唤起另一种表象。数学联想主要有：由部分联想整体、类比联想、关系联想。第二十页，共三十页，2022年，8月28日(三)联想由部分联想整体——完形人们天生具有一种完形倾向，即：尽可能把被知觉到的东西呈现一种最好的形式——完形。由表象的部分可以引发整个表象。

第二十一页，共三十页，2022年，8月28日第二十二页，共三十页，2022年，8月28日第二十三页，共三十页，2022年，8月28日第二十四页，共三十页，2022年，8月28日(三)联想2.类比联想指的是根据两个数学对象之间的类同、相似等关系引起和展开的联想。

第二十五页，共三十页，2022年，8月28日(三)联想3.关系联想是根据数学知识、图形的内在联系进行的联想。

第二十六页，共三十页，2022年，8月28日(四)想象1.想象就是人脑对已有的表象进行加工改造而产生新表象的思维。2.数学中的想象，实际上是以数学表象系统中丰富的表象为基础，运用已有的数学思想观念对这些表象进行整合加工，创造出新的数学表象的思维。

3.想象又可以分为再造想象和创造想象。

第二十七页，共三十页，2022年，8月28日数学中的再造想象是指根据对某一事物的数量关系与空间形式的语言文字的描述或者是图形的示意，在头脑中形成相应的新表象的思维。它是我们理解新知识的前提.数学中的创造想象是不依赖于某一事物已有的数量关系和空间形式的描述，而是根据一定的目的、任务与理论，独立地创造出新表象的思维。它是数学创造的源泉.

第二十八页，共三十页，2022年，8月28日公元1912年，荷兰数学家布劳维尔（Brouver，1881-1966）证明了不动点原理：把一个集合变为其子集合的连续变换，必然存在一个不变动的点。运用模拟想象理解布劳维尔的不动点原理：

想象一块由橡皮膜做成的平面区域D，在橡皮收缩后，缩为D内部的一个小区域D1；而原来的平面小区域D1，在橡皮收缩后，缩为D1内部的小区域D2；而原来的小小区域D2，在橡皮收缩后，则缩为D2内部更加小的区域D3；……如此一系列区域所包含的公共点P，就是在橡皮膜收缩后仍占据原来位置的点，它就是拓扑变换的不动点。第二十九页，共三十页，2022年，8月28日

1.如