2023届高三数学第69练计数原理、排列、组合练习

第69练计数原理、排列、组合训练目标(1)熟练掌握两个计数原理并能灵活应用；(2)会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题．训练题型(1)两个计数原理的应用；(2)排列问题；(3)组合问题；(4)排列与组合的综合问题．解题策略(1)理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原那么，正确把握分类标准；(2)将常见的排列组合问题分成不同类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，做到融会贯穿.一、选择题1．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，那么合格方程的个数为()A．13 B．15C．17 D．192．(2023·汉口一模)某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，那么不同的停放方法有()A．16种 B．18种C．24种 D．32种3．(2023·西安调研)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有()A．10种 B．20种C．36种 D．52种4．(2023·德阳诊断)学校方案利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，那么不同的安排方法共有()A．36种 B．30种C．24种 D．6种5．方案将排球、篮球、乒乓球3个工程的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个工程的比赛只能安排在一个体育馆进行，那么在同一个体育馆比赛的工程不超过2个的安排方案共有()A．60种 B．42种C．36种 D．24种6．“2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，那么含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为()A．18 B．24C．27 D．367．(2023·衡水二模)数列{an}共有5项，a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，那么满足条件的数列{an}的个数为()A．2 B．3C．4 D．68．某亲子节目的热播引发了一阵热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，那么不同的分配方案的种数是()A．216 B．420C．720 D．1080二、填空题9．一个公园的形状如下图，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，那么不同的种法共有________种．10．从甲、乙等6名运发动中选出4名参加4×100米接力赛．如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法共有________11．现有12种商品摆放在货架上，摆成上层4件、下层8件的形式，现要从下层的8件中取2件调整到上层，假设其他商品的相对顺序不变，那么不同的调整方法的种数为________．12．公安部新修订的?机动车登记规定?正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排〞的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和1、2、3、4、5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，那么他选择号牌的不同的方法种数为________.答案精析1．C[当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程；当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程；当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程；当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程；当m＝5时，取n＝0,6，方程为合格方程；当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程；当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17，应选C.]2．C[将4个连在一起的空车位“捆绑〞，作为一个整体，那么所求即4个不同元素的全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)不同的停放方法，应选C.]3．A[1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝10(种)．]4．B[由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共Aeq\o\al(3,3)种方法，故总的方法种数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30.]5．A[两种情况，第一种情况安排3个场地，每个场地安排1项比赛，安排方案有Aeq\o\al(3,4)＝24(种)；第二种情况，一个场地安排两场，第二个场地安排一场，安排方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36(种)．综上所述，一共有60种方案．]6．B[依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0,那么满足题意的四位数的个数为Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，那么满足题意的四位数的个数为Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24.]7．C[方法一因为|ai＋1－ai|＝1，所以ai＋1－ai＝1或ai＋1－ai＝－1，即数列{an}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{an}的个数为Ceq\o\al(3,4)＝4.方法二设bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，因为|ai＋1－ai|＝1，所以|bi|＝1，即bi＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故bi(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数列{an}的个数为Ceq\o\al(1,4)＝4.]8．D[先分组，每组含有2户家庭的有2组，那么有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(4,4)＝1080(种)不同的分配方案．]9．18解析先在A，B，C三个区域种植3个不同的植物，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)种法，假设E与A种植的植物相同，最后种D，有1种种法；假设E与C种植的植物相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18(种)不同的种法．10．240解析方法一(从元素考虑)从6名运发动中，选出4人有三种情况：(1)甲、乙都被选出，有Ceq\o\al(2,4)种选法；(2)甲、乙恰有1人被选出，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)种选法；(3)甲、乙都未被选出，有Ceq\o\al(4,4)种选法．再将4人按要求安排位置：甲、乙都参加，有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)种排法；甲、乙中有一人参加，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)种排法；甲、乙都不参加，有Aeq\o\al(4,4)种排法．故不同的参赛方法共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝240(种)．方法二(从位置考虑)第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝240(种)不同的参赛方法．方法三(间接法)从总数中减去甲、乙跑第一棒的情况，有Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝240(种)不同的参赛方法．11．840解析首先从下层中抽取2件商品，共有Ceq\o\al(2,8)＝28(种)不同的结果，把抽出的2件商品放到上层有两种情况：一种是2件商品相邻，放在上层4件商品形成的5个空中，有5Aeq\o\al(2,2)＝10(种)不同的调整方法；另一种是2件商品不相邻，把抽出的2件商品插入上层4件商品形成的5个空中，有Aeq\o\al(2,5)＝20(种)不同的调整方法，所以共有28×(10＋20)＝840(种)不同的调整方法．12．