晶向、晶面与晶带

目录1晶体及其基本性质晶向、晶面及晶带晶体的间隙晶体的缺陷晶体的投影

倒易点阵第一页，共45页。2.2晶向、晶面及晶带1、晶向与晶向指数2、晶面与晶面指数3、面间距、晶面夹角和晶带理论4、间隙2023/2/1212:032第二页，共45页。一、晶向及晶向指数31.晶向：

通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数millerindices)。过一格点可以有无数晶列。第三页，共45页。4晶列的特点：(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；(2)晶列上格点分布是周期性的；(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。第四页，共45页。52.晶向指数[uvw]确定步骤：建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐标。用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。将其按比例化为最小的整数。将此整数放在一个方括号[uvw]中。若有负号，将负号标在该数字的上方。如[121]表示

Coordinatesofselectedpointsintheunitcell.Thenumberreferstothedistancefromtheoriginintermsoflatticeparameters.第五页，共45页。例题：确定图1-18中A，B和C方向的晶向指数第六页，共45页。晶向

A1.两点坐标分别为（1,0,0）and（0,0,0）2.（1,0,0）-（0,0,0）=（

1,0,0）3.已为最小的整数，记作

[100]晶向B1.两点坐标分别为（1,1,1）

and（0,0,0）2.（1,1,1）-（0,0,0）

=（1,1,1）3.已为最小的整数，记作

[111]晶向C1.两点坐标分别为（0,0,1）

and（1/2,1,0）2.（0,0,1）-（1/2,1,0）

=（-1/2,-1,1）3.2(-1/2,-1,1)=-1,-2,2，记作第七页，共45页。练习1：确定图中AB，BC和AD的晶向指数ABCDXYZA(100)B(001)C(110)D(011/2)OAB:[101]BC:[111]AD:[221]___2023/2/1212:038第八页，共45页。XYZ[0l2]O0,1/2,1[0l2]2023/2/1212:039给出晶向指数，如何画出该晶向？例：在立方晶格中画出[012]和[123]晶向？第九页，共45页。[123]

－

1/3,2/3,-1XYZOO1P2023/2/1212:0310第十页，共45页。

注意：晶向是一个矢量，有方向的区别；一个晶向跟它的倍数是相同的；对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族。也就是互相不平行而原子排列规律相同的晶向的集合；在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>；同一晶向族中的指数相同，只是排列顺序或符号不同；立方晶系中的一些重要的晶向族有6种轴向<100>、12种面对角线方向<110>、8种体对角线方向<111>和顶点到面心的方向<112>。第十一页，共45页。2023/2/1212:0312[100][001][010][100][010][001]第十二页，共45页。133.

阵点间距、线密度和堆垛密度阵点间距（repeatdistance）：沿晶向方向阵点之间的距离。线密度(linerdensity):沿一个方向单位长度上相同阵点的数目。线堆垛密度（线致密度）:某个晶向上的原子所占的长度的比例。Determiningtherepeatdistance,lineardensity,andpackingfractionfor[110]directioninFCCcopper.第十三页，共45页。14例：已知Cu是FCC晶胞结构，晶格常数a=0.36451nm，计算晶胞中[110]晶向的阵点距离、线密度和线致密度？对于FCC晶胞中[110]晶向，起点设在0,0,0位置，下一个阵点在面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，阵点间的距离是面对角线的一半，等于。铜的晶格常数为0.36151nm，可以算出阵点间距为0.2556nm。铜的面心立方晶胞[110]晶向有2个重复距离，为线密度＝＝3.91阵点/nm因此，线密度也可以看成是阵点间距的倒数。线致密度＝线密度×2r。线致密度＝线密度×2r＝3.91×2×0.12781＝1说明原子沿[110]晶向相互接触(面心立方晶胞的最密排方向)。第十四页，共45页。二、晶面及晶面指数151.晶面在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(2)晶面上格点分布具有周期性；(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。第十五页，共45页。162.晶面指数（hkl）确定步骤：以晶胞的某一阵点为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a，b，c为三个坐标轴的长度单位，建立一个空间直角坐标系。但原点应位于待定晶面之外，以避免出现零截距。找出待定晶面在三轴的截距，如果该晶面与某轴平行，则截距为无穷大。求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z，对所求截距取倒数得1/x，1/y，1/z；将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l；再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。如果有存在负号，将负号标在该数字的上方。第十六页，共45页。确定图中A，B和C晶面的晶面指数FigureCrystallographicplanesandintercepts第十七页，共45页。PlaneA1.x=1,y=1,z=12.1/x=1,1/y=1,1/z=13.已为最小的整数，记为

(111)PlaneB1.晶面和z轴平行，所以x=1,y=2,andz=∞2.1/x=1,1/y=1/2,1/z=03.化为最小的整数：1/x

=2,1/y=1,1/z=0，记作

(210)PlaneC1.因为晶面经过了原点，所以要把原点沿y轴方向移动一个晶格常数的距离，所以，

x=∞

,y=-1,andz=

∞2.1/x=0,1/y=1,1/z=03.已为最小的整数，记作第十八页，共45页。练习XYZABCDEFGEFB晶面

(111)BFGD晶面（110）___ACD晶面(112)_EFB晶面BFGD晶面ACD晶面2023/2/1212:0319第十九页，共45页。XYZO20例：在下图中画出（012）和（123）晶面XYZ（123）－O第二十页，共45页。21一个晶面和其负晶面是相同的（这和晶向不同）晶面指数和该指数的倍数是平行的，但不是等同的（这也和前面讲的晶向不同）。晶面指数代表的不仅是某一晶面，而是代表一组互相平行的晶面；在晶体内部凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位相不同的晶面归为同一晶面族，用{hkl}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和；在一个晶胞中同属于某一晶面族的等效晶面数目，称为多重性因子；立方晶系中，具有相同指数的晶向和与晶面必定是互相垂直的，即晶向的方向为该相同指数晶面的法线方向。[111]⊥(111)第二十一页，共45页。22对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族（planesofaform）

，也就是互相不平行而原子排列规律相同的晶面的集合。立方晶系中：12个对角面

(110)，

(101)，

(011)，

(110)，(101)，

(011)，(110)，(101)，(011)，(110)，(101)，(011)构成{110}晶面族；6个表面

(100)，(010)，(001)，(100)，(010)，(001)构成{100}晶面族；同一晶面族的各晶面指数数字相同，只是排列顺序和符号不同第二十二页，共45页。立方晶格的几种主要晶面标记

第二十三页，共45页。24写出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。第二十四页，共45页。25面密度（plannardensity）单位面积上的原子数；面致密度为晶面上原子实际覆盖的面积分数。计算简单立方钋Po（010）和

（020）晶面的面密度和面致密度，钋的晶格常数为0.334nm。第二十五页，共45页。26两个晶面见图1-21，在（010）晶面，原子中心位于立方面的角上，实际上，每个原子的只有1/4在晶胞的这个面上。因此，每个面上总的原子数是1个。（020）晶面上没有任何原子，因此它的面密度和面致密度均为0。可以看出，（010）和（020）晶面不是等同的。第二十六页，共45页。27例：在立方晶胞中画出（a）晶向和(b)

晶面。晶胞中画出（a）晶向和(b)晶面第二十七页，共45页。28要把晶向画在晶胞内，需要把原点移动到0,+1,0，起点设在原点上，则终点的坐标为：要画出晶面，首先需要确定它的截距:由于x轴上的截距为负值，要把晶面画在晶胞内，需要把原点移动到1,0,0。第二十八页，共45页。六方晶系指数：六方晶系的晶向和晶面通常采用密勒-布拉菲(Miller-Bravais)指数表示。晶面指数的标定方法与三轴坐标系相同，但需用(hkil)四个数来表示。位于同一平面上的三个坐标数中必定有一个是不独立的，可以证明它们之间存在下列关系：i=-(h+k)在四轴坐标系中晶向指数的确定方法也和三轴坐标系相同、但需要用[uvtw]四个数来表示。并且u、v、t中也只能有两个是独立的，它们之间存在下列关系：t=-(u+v)29六方晶系密勒-布拉菲指数（a）四坐标法确定晶面指数(b)三坐标法和四坐标法确定晶面指数.第二十九页，共45页。30晶向指数的标定步骤如下：从原点出发，沿着平行于四个晶轴的方向依次移动，使之最后达到待定晶向上的某一结点；移动时必须选择适当的路线，使沿a3

轴移动的距离等于沿a1、a2两轴移动的距离之和的负值；将各方向移动距离化为最小整数值，加上方括号，即为此晶向的晶向指数。先用三轴坐标系标出待定晶向的晶向指数，然后再按下式换算成四轴坐标系的晶向指数[uvtw]。u=（2U-V）/3,v=(2V-U)/3,t=-(U+V)/3,w=W第三十页，共45页。31确定图中A，B晶面的晶面指数和C,D晶向的晶向指数晶面

A1.a1=a2=a3

=∞

,c=12.1/a1=1/a2=1/a3=0,1/c=13.已为最小的整数，记为

(0001)晶面

B1.a1=1,a2=1,a3=-1/2,c=12.1/a1=1,1/a2=1,1/a3=-2,1/c=13.已为最小的整数，记为晶向

C两点坐标分别为(0,0,1)and(1,0,0).2.(0,0,1)–(1,0,0)=1,0,13.已为最小的整数，记为

晶向

D1.两点坐标分别为(0,1,0)and(1,0,0).2.(0,1,0)-(1,0,0)=-1,1,03.已为最小的整数，记为第三十一页，共45页。32密排面、密排方向和堆垛方式在钢球模型的基础上，晶体可以看成是由某些晶面（或层）在空间按一定次序一个挨一个堆垛而成。该次序就称为堆垛方式或堆垛次序(stackingaequence)。HCP晶体按密排面（0001）的堆垛次序是ABAB……。FCC晶体按照（111）面的堆垛次序是ABCABC……。FCC和HCP结构的堆垛方式虽不同，但都是最紧密的排列都具有相同的配位数12和致密度0.74。第三十二页，共45页。2023/2/1212:0333HCP结构中ABABAB

堆垛次序第三十三页，共45页。2023/2/1212:0334FCC结构中的ABCABCABC堆垛次序第三十四页，共45页。三、面间距、晶面夹角和晶带理论351.晶面间距：晶面指数为(hkl)的一组平面点阵中相邻的两平面点阵面间的垂直距离，记作d(hkl)第三十五页，共45页。晶面间距的意义：每一种晶体物质都有一套特征d(hkl)，是晶体物相分析的重要依据。晶面指数确定，晶面的位向和晶面间距确定。晶面的位向用晶面法线的位相表示。空间任一直线的位向可用它的余弦表示。对于立方晶系而言，晶面位向可从以下关系求得：h:k:l=cosα:cosβ

:cosγcos2

α+cos2β+cos2γ=1h、k、l的数值越小，晶面间距离越大，实际晶体外形中这个晶面出现的机会也越大。（晶体的x射线衍射中容易出现，衍射峰强）晶面间距越大，该晶面上原子排布越密集；2023/2/1212:0336第三十六页，共45页。前述每一种晶体物质，都具有无数多组面网间距不同的面网，但在实际测试中，我们只能测得有限的一部分，即介于最大和最小面网间距之间的面网间距。

a）最大面网间距：不能超出晶胞的大小和尺寸；

b)最小面网间距：等于我们所使用的光源的单色光波长的一半，具体原因后面章节要讲述。例如钻石（diamond）等轴晶系，a＝3.5667nm。用CuKα射线测量时，我们能测得的面网间距只有：

d100=2.060Å;d220=1.261Å;d311=1.0754Å;d400=0.8916Å;d331=0.8182Å2023/2/1212:0337第三十七页，共45页。不同晶系的独立面网间距数量不同对称越高的晶体，所具有的独立面网间距数量越少；对称越低的晶体，则独立面网间距数量越多。原因如下：如等轴晶系：d010=d001=d100=a;

而斜方晶系：d010=b;d001=c;d100=a2023/2/1212:0338第三十八页，共45页。面网间距与晶胞参数之间有一定的对应关系。当α＝β＝＝90°时，d010＝b；d020＝b/2；d030＝b/3。下面根据晶系的不同分别列出其面网间距的计算公式。对于立方晶系：正交晶系：三方和六方晶系：2023/2/1212:0339第三十九页，共45页。40对于立方晶系中的BCC和FCC结构BCC：h+k+l等于偶数时，n=1;h+k+l等于奇数时，n=1/2FCC：h,k,l全为奇数或偶数时，n=1，h,k,l奇偶均有时，n=1/2（0视为偶数）。例如，对BCC结构:面间距越大，晶面上原子的排列就越密集，晶面间距最大的晶面通常是原子最密排的晶面。通常是低指数的晶面间距较大。对BCC和FCC结构，总的趋势相同，但是受

值的影响而不很规律。第四十页，共45页。2.晶面夹角：立方晶系中，晶面（h

k

l）法线和晶向(