初中数学人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数

新人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数课时作业一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A.B.C.答案：C知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==；∴∠A=30°∴∠B=60°∴sinB=故选C．分析：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可．根据AB=2BC直接求sinB的值即可．2.如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A.B.C.D.答案：B知识点：锐角三角函数定义解析：解答：连接CD，如图所示：∵∠COD=90°，∴CD为圆A的直径，又∵∠CBO与∠CDO为所对的圆周角，∴∠CBO=∠CDO，又∵C（0，5），∴OC=5，在Rt△CDO中，CD=10，CO=5，根据勾股定理得：OD==5，∴cos∠CBO=cos∠CDO===．故选B分析：此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接CD，由∠COD为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，可得出CD为圆A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的长，利用勾股定理求出OD的长，然后利用余弦函数定义求出cos∠CDO的值，即为cos∠CBO的值．3.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③；④AD=BDcos45°．其中正确的一组是（）A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B知识点：锐角三角函数定义解析：解答：①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴，故说法正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BDcos45°，故说法错误．所以正确的是②③．故选B．分析：此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．4.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A.B.C.答案：A知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：由图形知：tan∠ACB==，故选A．分析：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．5.在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为（）A.B.C.D.答案：C知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∴sinA==．故选C．分析：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比．也考查了勾股定理．先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．6.如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形答案：C知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．7.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧上的一点，则tan∠APB的值是（）A.1B.C.D.答案：A知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：由题意得：∠AOB=90°，∴∠APB=∠AOB=45°，∴tan∠APB=tan45°=1．故选A．分析：此题考查了圆周角定理与特殊角的三角函数值问题．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．由题意可得：∠AOB=90°，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠APB的度数，又由特殊角的三角函数值，求得答案．8.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定答案：A知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．分析：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．9.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A.B.C.D.答案：A知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：作DE⊥AB于点E．∵∠CBD=∠A，∴tanA=tan∠CBD==，设CD=1，则BC=2，AC=4，∴AD=AC-CD=3，在直角△ABC中，AB=，在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，∵AE2+DE2=AD2，∴x2+（2x）2=9，解得：x=，则DE=，AE=．∴BE=AB-AE==，∴tan∠DBA=，∴sin∠DBA=．故选A．分析：本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．10.计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A.B.C.D.答案：B知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：解：2sin30°-sin245°+cot60°，=2×-（）2+，=1-+，=+．故选B．分析：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是解题的关键．分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．11.计算：tan45°+（）-1-（π-）0=（）A.2B.0C.1D.-1答案：A知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：解：原式=1+2-1=2．故选A．分析：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及0指数幂的运算法则，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及0指数幂计算出各数，再根据从左到右的顺序进行计算即可．12.数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（）个．答案：C知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：=2，cos45°=，所以数字，，π，，cos45°，中无理数的有：，π，cos45°，共3个．故选C．分析：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给的数据判断即可．13.如图，在4×4的正方形网格中，tanα=（）C.D.答案：B知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：如图，在直角△ACB中，令AB=2，则BC=1；∴tanα=故选B．分析：本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．求一个角的正切值，可将其转化到直角三角形中，利用直角三角函数关系解答．14.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A.B.C.D.答案：B知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=∴tanB′=tanB=．故选B．分析：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．15.点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A.(,)B.(-,-)C.(-,)D.(-,-)答案：B知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（-,）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（-,）故选B．分析：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．二、填空题1.计算：cos245°+tan30°sin60°=____．答案：1知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：cos245°+tan30°sin60°=+=+=1．故答案为：1．分析：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．将cos45°=，tan30°=，sin60°=代入即可得出答案．2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____答案：m≥．知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC=，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．分析：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．3.如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是____答案：30°．知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∵sinA=，∴∠CAB=30°，∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=OBC=60°，∴∠COB=60°，∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）；又∵DE⊥AB，∴∠D=90°-60°=30°．故答案是：30°．分析：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数．4.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=____答案：．知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中∵∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°=，故答案为：．分析：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=60°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．5.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=____答案：．知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F．∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2、l3、l4的夹角都是90°，即EF与l2、l3、l4都垂直，∴DE=1，DF=2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠α+∠ADE=90°，∴∠α=∠CDF．∵AD=CD，∠AED=∠DFC=90°，∴△ADE≌△DFC，∴DE=CF=1，∴在Rt△CDF中，CD==，∴sinα=sin∠CDF=．分析：本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α=∠CDF，DE=CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．三、解答题1.已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．

（1）求证：CA2=CECD；（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：（1）证明：在△CEA和△CAD中，∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠D=∠C，又∵AE=EC，∴∠CAE=∠C，∴∠CAE=∠D，∵∠C是公共角，∴△CEA∽△CAD，∴即CA2=CECD；（2）解：∵CA2=CECD，AC=5，EC=3，∴52=CD3，解得：CD=，又∵CF=FD，∴CF=CD=×=，∴EF=CF-CE=-3=，在Rt△AFE中，sin∠EAF=．分析：此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（2）由CA2=CECD；CA=5，EA=3，可求得CD的长，然后由垂径定理，求得CF的长，继而求得EF的长，然后由正弦函数的定义，求得答案．2.计算：|-4|+()-1-(-1)0-cos45°．答案：3．知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：原式=4+2-1-2×=5-2=3．分析：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．本题涉及绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．3.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB．∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°，AE=AD．∴△ABE≌△DFA；∴AB=DF；（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．∴AB=DF=6．在Rt△ADF中，AF===8，∴EF=AE-AF=AD-AF=2．∴tan∠EDF=．分析：本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．4.计算(-1)2011-()-3+(cos68°+)0+|3-8sin60°|；答案：-8+知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：原式=-1-8+1+|3-8×|=-8+；分析：本题考查的是实数混合运算的法则解答此类题目