2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试60古典概型含解析新人教B版

PAGE考点测试60古典概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是()A．eq\f(1,106) B．eq\f(1,105)C．eq\f(1,102) D．eq\f(1,10)答案D解析只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为eq\f(1,10).2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案B解析给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(7,10)答案C解析已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，基本事件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，∴它们相克的概率为P＝eq\f(3,10).故选C．4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)答案C解析基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10个，其中为同色球的有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4个，故所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选C．5．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案B解析3卷文集随机排列，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选B．6．某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案B解析随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，有Ceq\o\al(2,4)种不同的方法，其中甲、乙两人同时被安排到A展区，有Ceq\o\al(2,2)种方法，则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).7．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是()A．eq\f(7,36) B．eq\f(1,2)C．eq\f(19,36) D．eq\f(5,18)答案C解析投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*.))所以a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4A．当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝eq\f(19,36)，故选C．8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是________．答案eq\f(7,12)解析∵a·b＝m－n，夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴a·b≥0，即m≥n.满足θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的基本事件总数为36，故所求概率为eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32) D．eq\f(11,16)答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A．10．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)答案C解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有Ceq\o\al(2,10)＝45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).故选C．11．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选C．12．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数为5×5＝25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D．13．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．答案eq\f(7,10)解析解法一：所有等可能事件有Ceq\o\al(2,5)＝10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝7个，故所求概率为eq\f(7,10).解法二：同解法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学的基本事件有Ceq\o\al(2,3)＝3个，故所求概率为1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).14．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案eq\f(5,6)解析先后抛掷2次骰子，所有可能出现的结果共36个，其中点数之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).三、模拟小题15．(2020·陕西渭南质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2,5)答案B解析现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(1,5)＝5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故选B．16．(2019·南昌一模)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)答案D解析由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为eq\f(1,6)，故选D．17．(2019·沈阳质量监测)某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)答案B解析由题知可能的结果有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4种，其中正确的只有一种，所以拼写正确的概率是eq\f(1,4)，故选B．18．(2020·山西考前适应训练)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为()A．eq\f(1,910) B．eq\f(3,910)C．eq\f(4,455) D．eq\f(6,455)答案C解析从这15个数中随机抽取3个整数，所有基本事件的个数为Ceq\o\al(3,15)，其中为勾股数的为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，故所求概率为P＝eq\f(4,C\o\al(3,15))＝eq\f(4,455)，故选C．19．(2019·兰州诊断)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)答案D解析从5名干部中随机选取2人有Ceq\o\al(2,5)＝10种选法，其中选中A没选中B有Ceq\o\al(1,3)＝3种选法，选中B没选中A有Ceq\o\al(1,3)＝3种选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝eq\f(3＋3＋1,10)＝eq\f(7,10)，故选D．20．(2019·成都一诊)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A．eq\f(4,9) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(7,9)答案C解析将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故选C．21．(2019·咸阳三模)一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当a<b且b>c时这个三位数称为“凸数”．现从1,2,3,4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为________．答案eq\f(1,3)解析现从1,2,3,4中任取三个组成一个三位数，基本事件总数为Aeq\o\al(3,4)＝24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，分别为(1,3,2)，(2,3,1)，(1,4,2)，(2,4,1)，(1,4,3)，(3,4,1)，(2,4,3)，(3,4,2)，则它为“凸数”的概率为P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).一、高考大题1．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解(1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).2．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有Ceq\o\al(2,6)＝15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：3×3＝9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝eq\f(2,9).3．(2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以事件A发生的概率为eq\f(1,3).(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以随机变量X的分布列为X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.二、模拟大题4．(2019·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解(1)由题得男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以样本中包含的男生人数为30×eq\f(1,15)＝2，女生人数为45×eq\f(1,15)＝3.则从5人中任意选取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，抽取的2人中没有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3种，则至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7种．故至少有一名男生的概率为P＝eq\f(7,10)，即选取的2人中至少有一名男生的概率为eq\f(7,10).5．(2020·柳州模拟)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了