2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修2-2

PAGE4-1.3.1函数的单调性与导数基础练习1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定【答案】A2．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且eq\f(f′x,2－x)＞0对任意x≠2恒成立，则()A．f(x)在(－∞，2)上单调递减B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减C．f(x)在R上单调递减D．f(x)在R上单调递增【答案】B【解析】eq\f(f′x,2－x)＞0对任意x≠2恒成立，所以当x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．故选B．3．(2017年四川成都模拟)已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，3]【答案】B【解析】∵函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)内单调递减，∴f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，即a≥3x2在(－1,1)内恒成立，∵3x2＜3，∴a≥3.故选B．4.(2019年新疆乌鲁木齐期中)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()ABCD【答案】C【解析】由y=f′(x)的图象可知当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以y=f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.A,B,D均不符合，故选C.5．函数y＝sinx－2x在R上的单调性是__________．【答案】单调递减6．(2017年陕西期中)函数f(x)＝2x－lnx的单调递增区间是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】y′＝2－eq\f(1,x)＝eq\f(2x－1,x)，又y＝x－lnx定义域是{x|x＞0}，令y′≥0，即eq\f(2x－1,x)≥0，解得x≥eq\f(1,2)或x＜0(舍)．故答案为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).7．设函数f(x)＝lnx－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x，求f(x)的单调区间．【解析】根据题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(－x2－x＋2,2x).令f′(x)＞0，即eq\f(－x2－x＋2,2x)＞0，解得0＜x＜1；令f′(x)＜0，即eq\f(－x2－x＋2,2x)＜0，解得x＞1.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，若f(x)在(0,1]上为增函数，求a的取值范围．【解析】∵f′(x)＝2a＋eq\f(2,x3)，由f(x)在(0,1]上递增，∴x∈(0,1]时f′(x)≥0恒成立，即a≥－eq\f(1,x3)在x∈(0,1]时恒成立．∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．能力提升9．(2019年浙江金华模拟)设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2019)>e2019f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2019)>e2019f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2019)<e2019f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2019)<e2019f(0)【答案】C【解析】∵F(x)＝eq\f(fx,ex)的导数F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴F(x)是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f(2),e2)<eq\f(f(0),e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2019)<e2019f(0)．故选C.10．(2017年黑龙江大庆模拟)若函数f(x)＝lnx＋ax2－2在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,8))) D．(－2，＋∞)【答案】D【解析】f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax，若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))内存在单调递增区间，则f′(x)＞0在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))有解，故a＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x2)))min，而g(x)＝－eq\f(1,2x2)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))递增，g(x)＞geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，故a＞－2.故选D．11．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．【答案】(3,27)【解析】函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则f′(x)在区间(－3，－1)上有根．∴f′(x)＝3x2－k＝0在(－3，－1)上有解，即k＝3x2在区间(－3，－1)上有解．又3x2∈(3,27)，∴k的取值范围是(3,27)．12．(2018年广东珠海阶段性测试)设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增，求k的取值范围．解：(1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－eq\f(1,k)(k≠0)．若k>0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,k)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，＋∞))时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若k<0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,k)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，＋∞))时，f′(x)<0，f(x