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第二节证明不等式的基本方法【知识梳理】1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔______a<b⇔______a=b⇔______b>0,>1⇒a>bb<0,>1⇒a<b

a-b>0a-b<0a-b=0名称作差比较法作商比较法适用类型适用于___________特征的不等式的证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差→变形→判断符号→得出结论作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论具有多项式2.综合法和分析法(1)综合法：一般地，从_________出发，利用_____、公理、_____、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法：证明命题时，从___________出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为_________或___________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.要证的结论充分条件已知条件一个明显成立的事实【考点自测】1.(2015·襄阳模拟)若a>b>1，x=a+，y=b+，则x与y的大小关系是(

)A.x>y

B.x<y

C.x≥y

D.x≤y【解析】选A.x-y=由a>b>1得ab>1，a-b>0，所以>0.即x-y>0，所以x>y.2.(2015·泸州模拟)若a，b，c，d，m，n都是正实数，则有(

)A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P，Q大小关系不确定【解析】选B.P2=ab+2+cd，Q2=(ma+nc)·=ab+cd+ad+cb.因为ad+cb≥2，所以Q2≥P2，又由已知得P>0，Q>0，所以Q≥P，故选B.3.(2015·合肥模拟)设x>0，y>0，则A，B的大小关系是(

)A.A=BB.A<B

C.A≤B

D.A>B【解题提示】分析式子结构，通过对式子B的分母进行放大使得与式子A分母一样，然后进行比较大小.【解析】选B.通过对式子B进行放缩可得B==A，即A<B.故选B.4.(2015·临沂模拟)给出下列命题：①比较法最终要判断式子的符号得出结论；②综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论；③分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实；④使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用；⑤放缩法就是把分式的分子放大，分母缩小.其中正确的命题是(

)A.①②

B.②

C.②③

D.②④⑤【解析】选B.①错误.当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论.②正确.根据综合法的定义可得结论正确.③错误.根据分析法的定义，应把“必要条件”改为“充分条件”才是正确的结论.④错误.根据反证法的定义，“反设”能作为已知条件充分使用.⑤错误.不符合放缩法的定义.考点1

用比较法证明不等式

【典例1】求证：(1)当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2.(2)当a，b∈(0，+∞)时，aabb≥【解题视点】第(1)小题的不等式为一元型的整式不等式，可以考虑采用作差比较法证明；而第(2)小题是幂指型的不等式，可考虑采用作商比较法证明.【规范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=所以1+2x4≥2x3+x2.方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0，所以1+2x4≥2x3+x2.(2)当a=b时，=1；当a>b>0时，当b>a>0时，所以aabb≥【互动探究】保持本例(2)小题的条件不变.(1)若a<b，比较(a2+b2)(a-b)与(a2-b2)(a+b)的大小.(2)证明abba≤【解析】(1)因为(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)=(a-b)[a2+b2-(a+b)2]=-2ab(a-b).又因为0<a<b，所以-2ab<0，a-b<0，所以(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)>0，所以(a2+b2)(a-b)>(a2-b2)(a+b).(2)当a=b时，=1；当a>b>0时，0<<1，当b>a>0时，所以≤1，即abba≤【规律方法】比较法证明不等式的方法与步骤1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤：①作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差；②变形：将差式进行变形，化简为一个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积，或配方变形为一个或几个平方和等；③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号；④结论：肯定不等式成立的结论.(2)作差比较法的应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤：①作商：将不等式左右两边的式子进行作商；②变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；④结论.(2)作商比较法的应用范围：当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法.提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【变式训练】1.已知a∈R，且a≠1，求证：3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.【证明】因为3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a2)2-a2]-(1+a+a2)2=3(1+a+a2)(1-a+a2)-(1+a+a2)2=(1+a+a2)(2a2-4a+2)=2(1+a+a2)(a-1)2=又a∈R，a≠1，所以>0，故3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.2.设a>b>0，求证：【证明】方法一：因为a>b>0，所以左边-右边=故原不等式成立.方法二：由a>b>0，知>0，所以【加固训练】1.(2015·吉林模拟)已知函数f(x)=2x，x1，x2是任意实数且x1≠x2，证明：【证明】因为x1≠x2，所以即>0，所以2.已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：【证明】左边-右边=因为a+b=2，所以左边-右边=因为a，b都是正实数，所以ab≤=1.所以1-ab≥0，所以≥0.所以≥1成立.考点2

用综合法证明不等式

【典例2】已知三个互不相等的正数a，b，c，满足abc=1.试证明：【解题视点】本题可用abc=1代换，中的a，b，c，然后利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明.【规范解答】方法一：因为a，b，c>0，且互不相等，abc=1，所以即方法二：因为所以以上三式相加，得又因为a，b，c互不相等，所以方法三：因为a，b，c是互不相等的正数，且abc=1，所以所以【互动探究】本例已知条件不变，判断(a+2)(b+2)(c+2)与27的大小关系.【解析】由已知得(a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)·(c+1+1)>【规律方法】1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法证明时常用的不等式(1)a2≥0.(2)|a|≥0.(3)a2+b2≥2ab，它的变形形式有a2+b2≥2|ab|；a2+b2≥-2ab；(a+b)2≥4ab；(4)它的变形形式有(5)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.【变式训练】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：【证明】①由已知得1=a+b+c≥所以abc≤②因为a+b+c=1，所以≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=时取等号，所以③因为a+b+c=1，所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1(*)又因为a2+b2+c2=[(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)]≥ab+bc+ca，所以(*)式变为1≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，即ab+bc+ca≤.④因为故即≥a+b+c，所以≥1.⑤因为a>0，b>0，c>0，所以三式相加得2(a+b+c)≥两边同加a+b+c得3(a+b+c)≥又因为a+b+c=1，所以3≥所以【加固训练】(2015·兰州模拟)若a，b，x，y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤(ax+by)(ay+bx)≤【证明】(ax+by)(ay+bx)-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab=xy(a2+b2)+ab(x2+y2-1)=xy(a2+b2)+ab[(x+y)2-2xy-1].因为x+y=1，所以(ax+by)(ay+bx)-ab=xy(a2+b2)-2abxy=xy(a-b)2≥0(x，y>0)，所以ab≤(ax+by)(ay+bx).又(ax+by)(ay+bx)≤所以ab≤(ax+by)(ay+bx)≤考点3

用分析法证明不等式

【典例3】(2015·十堰模拟)设a，b，c>0，且ab+bc+ca=1.求证：(1)a+b+c≥.(2)【解题视点】(1)不好直接用比较法和综合法，可选择用分析法证明.(2)先将不等式左边通分变形后利用分析法证明，注意使用(1)中已证得的结论.【规范解答】(1)要证a+b+c≥，由于a，b，c>0，因此只需证明(a+b+c)2≥3.即证：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3，而ab+bc+ca=1，故需证明：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).即证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而这可以由ab+bc+ca≤=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.(2)在(1)中已证a+b+c≥.因此要证原不等式成立，只需证明即证即证而所以≤ab+bc+ca(当且仅当a=b=c=时等号成立).所以原不等式成立.【规律方法】1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有…只需证明命题B2为真，从而有………只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真.2.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.3.综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.【变式训练