点直线和平面的投影

点直线和平面的投影第一页，共八十四页，2022年，8月28日

简单零件指由基本几何体独立构成零件，或基本几何体经简单组合而成。

第二页，共八十四页，2022年，8月28日任务名称测绘常见基本体、组合体零件任务内容利用测量工具和绘图工具测绘常见三类基本体零件平面体零件（钩头楔键、B型普通平键等），回转体零件（如圆柱销、圆锥销、绞杆等），柱形体零件（如支座）；看懂基本体零件零件图并利用橡皮泥三维造型。任务目的1、掌握投影法的基本知识；2、掌握三视图的基本知识；3、了解测绘的基本知识；4、掌握基本体的投影与尺寸标注；5、熟练基本体零件的测绘方法；6、能看懂基本体零件的零件图。项目任务第三页，共八十四页，2022年，8月28日第2章点.直线和平面的投影2.1正投影法的基本知识

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4平面的投影

2.5变换投影面法第四页，共八十四页，2022年，8月28日

投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。2.1.2投影法的分类

1.中心投影法：投射线汇交与一点的投影法。p投影中心投射线投影面2.1.1投影的概述投影平行投影法：投射线相互平行的投影法。（1）正投影法（2）斜投影法ABDCSbacd投影对象第五页，共八十四页，2022年，8月28日

投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。2.1.2投影法的分类

1.中心投影法：投射线汇交与一点的投影法。2.1.1投影的概述平行投影法：投射线相互平行的投影法。（1）正投影法（2）斜投影法规定大写字母表示空间点小写字母表示相应空间点的投影第六页，共八十四页，2022年，8月28日正投影法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。ABDCbacd90°

ABDCbacd正投影法斜投影法第七页，共八十四页，2022年，8月28日

由于正投影法所得到的正投影能准确反映物体的形状和大小，度良性好，作图简便，因此，机械图样是采用正投影法绘制的。本书中除去斜轴测图外，都属于正投影绘制的图样。第八页，共八十四页，2022年，8月28日HacbHacbH2.1.3正投影的基本性质（1）显实性（3）类似性（2）积聚性投射方向投射方向投射方向ABABABABCABCABCacbababa(b)第九页，共八十四页，2022年，8月28日1、显实性：当直线或平面平行投影面时，直线的投影反映实长，平面的投影反映实形。2、积聚性：当直线或平面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成一条直线。3、类似性：当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于实长，平面的投影是其原图形的类似形。第十页，共八十四页，2022年，8月28日

由于用正投影法得到的投影图能较准确的表达物体的形状和大小，且作图简便，故工程图样中得到了广泛应用。第十一页，共八十四页，2022年，8月28日2-1三视图的形成及其投影规律

一、三投影面体系的建立

一般情况下，物体的一个投影不能确定其形状。所以要反映物体的完整形状，必须增加由不同投射方向得到的投影图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用三面投影体系来表达简单物体的形状。第十二页，共八十四页，2022年，8月28日2-1三视图的形成及其投影规律第十三页，共八十四页，2022年，8月28日2-1三视图的形成及其投影规律

一、三投影面体系的建立正立投影面—V面水平投影面—H面侧立投影面—W面投影面交线—投影轴投影轴交点—原点设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。第十四页，共八十四页，2022年，8月28日二、物体三视图的形成

将物体放在三面投影体系中，按正投影法向各投影面投射，即可得到正面投影、水平投影和侧面投影。工程图样中，多面正投影图也称为“视图”。第十五页，共八十四页，2022年，8月28日左视图:由左向右观察，将物体向W面投影而得到的视图。主视图:由前向后观察，将物体向V面投影而得到的视图；俯视图:由上向下观察，将物体向H面投影而得到的视图；二、物体三视图的形成第十六页，共八十四页，2022年，8月28日

为了画图和看图方便，必须使处于空间位置的三视图在同一个平面上表示出来。将三投影面展成一个平面：V面不动，H面向下转90,Y轴记为YH，W面向右转90，Y轴记为YW。

俯视图在主视图的正下方；左视图在主视图的正右方，这种位置关系，在一般情况下是不允许变动的。第十七页，共八十四页，2022年，8月28日三、三视图间投影的对应关系立体图空间物体有长、宽、高三个方向的尺寸。通常规定：物体左右之间的距离为长（X）；前后之间的距离为宽（Y）；上下之间的距离为高（Z）。第十八页，共八十四页，2022年，8月28日三、三视图间投影的对应关系立体图总体三等局部三等三等关系主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长对正宽相等高平齐第十九页，共八十四页，2022年，8月28日三、三视图间投影的对应关系三等关系主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长对正宽相等高平齐“长对正、高平齐、宽相等”的投影对应关系是三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。第二十页，共八十四页，2022年，8月28日四、三视图的方位对应关系主视图——反映了形体的上、下、左、右方位关系；俯视图——反映了形体的左、右、前、后方位关系；左视图——反映了形体的上、下、前、后位置关系。直观图三视图的方位关系第二十一页，共八十四页，2022年，8月28日H2.2.1点在三面体系中的投影三投影面体系的建立：

V面：正立的投影面；

H面：水平的投影面；

W面：侧立的投影面；

X轴——V与H面的交线，代表长度方向；

Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向；

Z轴——V与W面的交线，代表高度方向；三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。YXOVZW1.三投影面体系和点的三面投影第二十二页，共八十四页，2022年，8月28日HVWYXOZ点的三面投影的形成A(x,y,z)a

'（x,z）a(x,y)a

"(y,z)侧立投影面正立投影面水平投影面点A的三面投影的坐标为a(x,y),a’(x,z),a’’(y,z).任一投影都包含了两个坐标，所以一个点的两个投影就包含了确定该点空间位置的三个坐标。第二十三页，共八十四页，2022年，8月28日HWZYwXZYHOaYWaYHaxaza'aa"W面向右后转90°H面向下后转90°YwXZYHOa'aa"第二十四页，共八十四页，2022年，8月28日VWYXOZAa'aa"H

(2)点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。

点的三面投影规律：(1)点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。XZYwYHOaa'a"第二十五页，共八十四页，2022年，8月28日

例1：已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。OXZYWYH203010a'aa"第二十六页，共八十四页，2022年，8月28日2.2.3两点的相对位置、重影点1.两点的相对位置空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。

左、右位置由X坐标差确定。XA＞XB，点A在点B的左方；前、后位置由Y坐标差确定；YA＜YB，点A在点B的后方；

上、下位置由Z坐标差确定。ZA＜ZB，点A在点B的下方。a'a"abb'b"XZYWYHo第二十七页，共八十四页，2022年，8月28日2.重影点

当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。

重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。

YE>YF故对面V，E可见，F不可见。e"f"fee'(f')XZYWYHoXYZHWVOfee'(f')e"f"FE第二十八页，共八十四页，2022年，8月28日1.直线的投影特性2.3.1直线的三面投影abBA(3)类似性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长；abABa(b)AB(1)显实性：直线平行与投影面时，其投影等于实长；(2)积聚性：直线垂直与投影面时，其投影积聚为一点。第二十九页，共八十四页，2022年，8月28日YZHVXoW

直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同面投影的连线来确定。2.直线的三面投影baBAa'b'b"a"第三十页，共八十四页，2022年，8月28日bb"b'YWYHoZXaa'a"A、B两点的三面投影图连接AB两点的同面投影，即为直线AB的投影bb"b'YWYHoZXaa'a"第三十一页，共八十四页，2022年，8月28日YWYHoZXa'b'b"a"ba1.直线上的点其投影必在该直线的同面投影上,且符合点的投影规律.

YZHVXWobaBAb'a'b"a"Cc"c'c2.3.2属于直线上的点c"c'c2.点分线段成定比AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′=a″c″:c″b″点C的三面投影必在AB的同面投影上第三十二页，共八十四页，2022年，8月28日

空间位置直线在三面体系中,对投影面的相对位置有三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线统称为特殊位置直线1.一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。

其投影特性：

（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。（2）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。2.3.3各种位置直线的投影第三十三页，共八十四页，2022年，8月28日a'b'abb"a"XZOYWYH第三十四页，共八十四页，2022年，8月28日(1)投影面平行线:平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线。

水平线（∥H面）

、正平线（∥V面）、侧平线（∥W面）(2)投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线。

铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）、侧垂线（⊥W面）

2.特殊位置直线投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长；其它投影平行于相应的投影轴；3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相应投影面的倾角。投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影有积聚性；其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。第三十五页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYVHWOa'b'βγβγa'b'βγXZYHYWOABababb"a"a"b"ab与OX和OYH的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角水平线ab=ABa′b′∥OX、a″b″∥OYW都不反映实长第三十六页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYOVHWcdCDαγγαcdαγXZYHYWOc'd'c'd'd"c"d"c"cd∥OX、a″b″∥OYW都不反映实长c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角

正平线c′d′=CD第三十七页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYOVWHfeαβαβf'e'XZYHYWOαβFEe"f"

侧平线e″f″=EFef∥OYH、e′f′∥OZ都不反映实长e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角f"e"f'e'ef第三十八页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYOHVWABa'b'a(b)a'b'YWXZYHOa"b"b"a"a(b)a′b′=a″b″=AB,且a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW铅垂线:水平投影a（b）积聚一点第三十九页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYOHVWc'(d')CDdcXZYHYWOc'(d')dcc"d"d"c"正垂线:正面投影c′（d′）积聚一点cd=c″d″=CD,且cd⊥OX、a″b″⊥OZ第四十页，共八十四页，2022年，8月28日ZXYOHVWfef'e'fef'e'XZYHYWO()e"k"FE()e"k"侧垂线:侧面投影e″（f″）积聚一点ef=e′f′=EF,且ef⊥OYH、e′f′⊥OZ第四十一页，共八十四页，2022年，8月28日2.4.1平面的表示法a'b'c'cabb'c'a'caba'b'c'cab不在同一直线上的三点一直线上和直线外一点相交两直线1.用几何元素表示平面第四十二页，共八十四页，2022年，8月28日b'c'a'cabb'c'a'd'cabd平行两直线任意平面图形第四十三页，共八十四页，2022年，8月28日HVWXZYOABC

平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。a'b'c'abcc"a"b"2.4.2平面的投影过程先画出各顶点的投影,后将各点同面投影依次连接，即为平面的投影。第四十四页，共八十四页，2022年，8月28日xzyHywoc"b"a"cbaa'c'b'第四十五页，共八十四页，2022年，8月28日2.4.3各种位置平面的投影特性特殊位置平面1.一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。一般位置平面投影面平行面投影面垂直面

一般位置平面的投影特性：△ABC对三个投影面都倾斜，所以各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形的类似形。c"b"a"xyHywocbaa'c'b'

平面在三投影面体系中，按其对投影面的相对位置可分为三类：第四十六页，共八十四页，2022年，8月28日（1）投影面平行面：平行于某一投影面的平面。水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形；其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。（2）投影面垂直面：垂直于某一投影面且与另两投影面倾斜的平面。

铅垂面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段；其他的投影为原形的类似形。特殊位置平面第四十七页，共八十四页，2022年，8月28日HVWXZYOc"b"a"a'b'c'ABCcbaxzYHYwocbaa'b'c'c"b"a"水平面：水平投影反映实形正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OYW轴。第四十八页，共八十四页，2022年，8月28日HVXZYOWa'b'c'c"b"a"水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴xzYHYwocbaABCa'b'c'cbac"b"a"正平面：正面投影反映实形第四十九页，共八十四页，2022年，8月28日侧平面：侧平投影反映实形HVWXZYOxzYHYwocbaa'b'c'b"a"c"b"a"c"b'a'c'cbaABC水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于OYH、OZ轴第五十页，共八十四页，2022年，8月28日HVWXZYOYHxzYwocbaa'b'c'b"a"c"a'b'c'BCAa"c"b"正面投影和侧面投影为原形的类似形cba铅垂面：水平投影积聚为直线段第五十一页，共八十四页，2022年，8月28日HVWXZYOxzYHYwoABCcbaa'b'c'cbab"a"c"a″c″b″正垂面：正面投影为有积聚性的直线段。水平投影和侧投影为原形的类似形a'b'c'第五十二页，共八十四页，2022年，8月28日VWXZYOHcbaABCa'b'c'b"a"c"cbaa'b'c'b"a"c"xzYHYwo侧垂面：侧面投影为有积聚性的直线段。正面投影和水平投影为原形的类似形第五十三页，共八十四页，2022年，8月28日1.平面上取直线几何条件：（1）一直线通过属于平面上的两点。（2）一直线通过属于平面上的一点，且平行于属于该平面的另一直线。2.取属于平面的点几何条件：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。3.平面上的投影面平行线凡在平面上且平行于某一投影面的直线,称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线，不仅符合平面上直线的几何条件，而且具有投影面平行线的投影特性。2.4.4平面上的直线和点第五十四页，共八十四页，2022年，8月28日例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b1）accakb●k●利用平面的积聚性求解2）●abcabkcdk●d通过在面内作辅助线求解第五十五页，共八十四页，2022年，8月28日

例：求点在特殊位置平面上的投影第五十六页，共八十四页，2022年，8月28日

例：求点在特殊位置平面上的投影利用平面的积聚性直接做出k点的V、W面投影第五十七页，共八十四页，2022年，8月28日

例：求点在一般位置平面上的投影第五十八页，共八十四页，2022年，8月28日

例：求点在一般位置平面上的投影

可先在平面内作辅助线，然后在辅助线的投影上求作该点的投影。第五十九页，共八十四页，2022年，8月28日

例：求点在特殊位置平面上的投影第六十页，共八十四页，2022年，8月28日b'c'abcXOa'm'mc'a'b'

abcXOm

'n'mnd'd

例：已知平面△ABC，试作出属于该平面的任意一直线。第六十一页，共八十四页，2022年，8月28日12c'a'b'abcXOm'n'mnkk'例：取属于平面的点

m1'2'f'3m'fXOcaba'b'c'3'第六十二页，共八十四页，2022年，8月28日XbOa'b'cac'mnXOa'b'cabc'm'mln'm'例：在平面上作投影面平行线第六十三页，共八十四页，2022年，8月28日2.5.1概述

当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实长或实形。

为了求出一般位置直线的实长或平面的实形，可以设置一个新的投影面来替换原投影面体系中的某一个投影面，组成一个新的投影面体系，使直线或平面在该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简化的目的，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。X正平线X水平面一般位置直线XX一般位置平面不反映实长不反映实形反映实长反映实形第六十四页，共八十四页，2022年，8月28日VHXV1X1ACBcaba'b'c'a″b″c″反映△ABC平面的实形第六十五页，共八十四页，2022年，8月28日（1）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，这样才能建立一个新的直角投影面体系，以便利用正投影法作图。（2）新投影面必须使直线或平面处于有利于解题的位置，使问题求解简便。2.5.2换面法的基本作图点的换面点的一次换面原投影面体系V/H，用V1代替V构成新的投影面体系V1/H，V1垂直H，并于H面相交于X1。X1为V1/H投影面中的投影轴。在换面法中，新投影面的设置必须满足以下两个条件：第六十六页，共八十四页，2022年，8月28日VHXV1X1aX1aa'aXa1'A点的一次换面（用V1面替换V面，建立新投影面V1/H体系）a1'aX1⊥x1aaX1⊥x1a1'到X1的距与a'到X的距离都反映A点到H面的距离。第六十七页，共八十四页，2022年，8月28日V1HX1a1'XVHaa'ZAZA被更换的旧投影新投影保留的旧投影点的一次换面第六十八页，共八十四页，2022年，8月28日VHXX1H1aX1a1aa'axa'aX1⊥x1a1aX1⊥x1a1到X1的距与a到X的距离都反映A点到V面的距离。点的一次换面(用H1替换H面，建立新投影面V/H1体系）A第六十九页，共八十四页，2022年，8月28日VH1X1a1XVHaa'YAYA被更换的旧投影新投影保留的旧投影点的一次换面变换H面，建立新投影面V/H1体系第七十页，共八十四页，2022年，8月28日A点在新、旧两个投影面体系中的投影规律：

新投影与不变的投影之间连线垂直于新投影轴。新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。（2）点的二次换面

在一次换面的基础上继续进行：

V/HV1/HV1/H2……V/H1V2/H1……

二次换面的作图原理和作图方法与一次换面相同。第七