浮点数的运算方法

浮点数的运算方法第一页，共十六页，2022年，8月28日浮点数在计算机内的格式浮点数:X=MS

ESEm-1...E2E1

M-1M-2...M-n

符号位

阶码位

尾数数码位

总位数短浮点数:

1

8

23

32长浮点数:

1

11

52

64

临时浮点数:1

15

64

80IEEE标准：阶码用移码，基为2；尾数用原码X=MX*2EX浮点数的阶码的位数决定数的表示范围，

尾数的位数决定数的有效精度。第二页，共十六页，2022年，8月28日浮点数在计算机内的格式浮点数:X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE标准：尾数用原码X=MX

*2EX浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须>=1/2，称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示；把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。第三页，共十六页，2022年，8月28日浮点数在计算机内的格式浮点数:X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE标准：尾数用原码X=MX*2EX按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要用原码表示，即符号位Ms:0表示正，1表示负，且非0值尾数数值的最高位M-1必为1,才能满足浮点数规格化表示的要求；既然非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数右移,强行把该位去掉,用同样多的尾数位就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。第四页，共十六页，2022年，8月28日浮点数在计算机内的格式X=Ms

EsEm-1...E1E0

M-1M-2...M-n

IEEE标准：阶码用移码，基为2X=MX*2EX按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以2为底的指数的幂。既然该指数的底一定为2，可以不必在浮点数的格式中明确表示出来，只需给出阶码的幂值即可。

移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分，其定义类似于整数的补码定义，差别在符号位。

移码的符号位是0表示负，1表示正，与补码的符号位正好相反，移码是指机器数在数轴上有个移位关系；

移码的数值位则与补码的数值位完全相同。第五页，共十六页，2022年，8月28日浮点数格式：关于移码的知识浮点数:X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nX=MX*2EX移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分。一位符号位和n位数值位组成的移码,其定义为；[E]移=2n+E-2n<=E<2n表示范围：

00000000111111110负数正数机器数[X]补

=X0X<2n

2n+1+X-2nX0第六页，共十六页，2022年，8月28日浮点数格式：关于移码的知识一位符号位和n位数值位组成的移码,其定义为；[E]移=2n+E-2n<=E<2n表示范围：00000000~11111111

负数

正数机器数0移码只执行二数的加减运算与增1、减1操作。加减运算时，符号位计算结果求反后,才是加减运算的正确符号位的值。注意:当用双符号位时，00代表负，01代表正，而不是11代表正

8位的阶码能表示-128~+127，当阶码为-128时，其补码表示为00000000，该浮点数的绝对值<2-128,人们规定此浮点数的值为零，若尾数不为0就清其为0，并特称此值为机器零。8位移码表示的机器数为数的真值在数轴上向右平移了128个位置-128+127第七页，共十六页，2022年，8月28日浮点数在计算机内的格式浮点数:X=M

EE...EE

MM...M

ssm-110-1-2-nIEEE标准：阶码用移码，基为2；尾数用原码X=MX*2EX阶码用移码，尾数用原码表示浮点数的好处：(1)机器零为浮点数的所有各位均为零；(2)二浮点数比大小时，可不必区分阶码位和数据位，可视同比二定点小数一样对待第八页，共十六页，2022年，8月28日浮点数算术运算（1）对阶操作，求阶差：

E=

EX-EY，

使阶码小的数的尾数右移E位，其阶码取大的阶码值；（2）尾数加减；（3）规格化处理；（4）舍入操作，可能带来又一次规格化；（5）判结果的正确性，即检查阶码上下溢出EXX=MX*2

EYY=MY*2

浮点数加减运算第九页，共十六页，2022年，8月28日浮点数加运算举例X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）写出X、Y的正确的浮点数表示：

阶码用4位移码

尾数用9位原码（含符号位）（含符号位）[X]浮=0

1010

11011011[Y]浮=1

1100

10101100为运算方便，尾数写成模4补码形式：[MX]补=0011011011[MY]补=1101010100

第十页，共十六页，2022年，8月28日浮点数加运算举例

X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）（1）计算阶差：

E=EX-EY=EX+(-EY)=1010+0100=0110

注意：阶码计算结果的符号位在此变了一次反，结果为-2的移码，是X的阶码值小，使其取Y的阶码值1100（即+4）；因此，修改[MX]补=000011011011（即右移2位）（2）尾数求和：000011011011

+

1101010100111000101011第十一页，共十六页，2022年，8月28日浮点数加运算举例X=2010*0.11011011，Y=2100*（-0.10101100）（3）规格化处理：

相加结果的符号位与数值的最高位同值，应执行一次左规操作,故得[MX]补=1000101011，[EX]移=1011（4）舍入处理：采用0舍1入方案，要入，在最低位加1

1100010101

+

00000000011100010110

（其原码表示为111101010）（5）检查溢出否：和的阶码为1011，不溢出计算后的[X]移=1

1011

11101010，即23*(-0.11101010)第十二页，共十六页，2022年，8月28日浮点数算术运算(1)阶码加、减：乘：EX+EY

，除：EX-EY(2)尾数乘、除：乘：EX*EY

，除：EX/EY(3)规格化处理；(4)舍入操作，可能带来又一次规格化；(5)判结果的正确性，即检查阶码上下溢出EXX=MX*2

EYY=MY*2

浮点数乘除运算第十三页，共十六页，2022年，8月28日浮点数乘法运算举例X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）写出X、Y的正确的浮点数表示：

阶码用4位移码

尾数用9位原码（含符号位）（含符号位）[X]浮=0

1010

1011[Y]浮=1

1100

1101第十四页，共十六页，2022年，8月28日浮点数乘运算举例

X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）（1）阶码相加：

积的阶码

=EX+EY=1010+1100=1110

注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反，

结果为+6的移码

（2）尾数相乘：MX*MY=0.1011*(-0.1101)=-0.10001111

(3)(4)(5)已是规格化数,不必舍入,也不溢出最众乘积[MX]移

=1111010001111，即26*（-0.10001111）第十五页，共十六页，2022年，8月28日浮点数除运算举例

X=2010*0.1011，Y=2100*（-0.1101）（1）阶码相减：

积的阶码

=EX-EY=EX+(-EY)

=1010+0100=0