高等数学三第二章2.极限的运算法则

第二章极限与连2.3限的运算极限的四则运算法则复合函数的极限运算法则小一、极限的四则运算法limf(x)Alimg(x)Blimf(x)g(x)limf(x)limlimf(x)limf(x)A 推论1如果limf(x)存在而c为常数推论2如果limf(x)存在而n是正整数说明定理3推广到有限个函数相加、减的多项式函数的极求例lim(2x求例

3x题解1—lim(2x23x1)lim2x2lim3x— 2limx23limx 212311 P(x)a

a

设次多项式函数 n其 a0,a1,,an为常数，且a00，对任意x0R，证明x二limPn(x)Pn(x0x二0解limP(x)limaxnaxn1a

alimxnalimxn1lima0 1 axnaxn1 P(x 有理分式函数的设有理分式函 axmaxm1a xaf(x) 0 bxnbxn1 x limPxx0Q(

x2求求

3

2x22lim(33x2

lim(x2

22

所以x23x32x2 lim(3x32x2 18

Q(x0)

，则limPx)xx0Q(

P(x0Q(x0 limx 求 四

1x1时，分子、分母的极限都是零，极0限为 x1x10，可以约去这个不为零的公因子，所limx1

x

x1

x1(x1)(x

x1x 若Qx00,Px00，则设法约去零因子 limsinxcos题x题4

cos2 4 解因为当x时，分子、分母的极限都是零4所以先对分式进行化简，sinxcosx sinxcoscos2

cos2xsin2 sinxcos(cosxsinx)(cosxsinx cosxsin2 limsinxcosx 24

cos xcosxsin 4六解x1时,0分子≠0, lim 5x41514 2x 21结论 ，Q(x)0,P(x) limP(x结论 ， xx0Q(limPxQ(例求

2x33x2 x5七

2 解x分子、分母都趋向于无穷大（即极限都不存在故不能直接应用商的极限的运算法得3lim3

3x255

23

200x5x32x2

5

50 求

2x23x x3

2 解将分子、分母同除以它们的最高次幂x32

231 lim

1lim

0x3x32x2

32

30例

3x32x22x23x

.九解由例8的结果

2x23xx时，函数3x32x2x3x32x2的极限为所以其倒数2x23x1极限应为无穷大即

3x32x23x3x 2xa0xma1xm1

b0xn

xn1

为非负常) lim 十

x1

ax ax (1a)x2(ba)x解lim axb xx

x的系数应该相等，故1a0ba1，a1b211

111

1x21x1x21

x1x

1x21x22求lim(

2n

解先变形再求极限lim(

2n)lim12n

n2 n2

n n21n(n

lim

(1n

) 二、复合函数极限的运算法定理2(复合函数的极限运算法则f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则limf[g(x)]limf(u)Ax 推论 设limf(x)A(A0),limg(x)limf(x)g(x)Axx2xx2 十 解由于limx2

x2uu

x2 x u 4xx2