向量及其线性运算

第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影向量：既有大小又有方向的量.向量表示：向量的方向：箭头的方向.一、向量的概念或||向量的模：向量的大小.或向量的大小：向量长度的值.模长为1的向量.零向量：模长为0的向量,其方向随意.单位向量：或自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.向量平行：k(2)个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.两个非零向量的方向相同或者相反.k个向量共面：二、向量的线性运算[1]加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）1.向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法2.向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）支配律：两个向量的平行关系证充分性明显；必要性‖两式相减，得依据向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.点P．O．Pxx=

xi实数x向量此定理是建立数轴的理论依据数轴：点、方向、单位长度轴上点P的坐标为x的充分必要条件是.=xii1另外例1化简解例2试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.例3用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半证ABCDEF例4已知三个非零向量中任意两个向量都不平行试证证由题设存在使若不然则与题设冲突故三、空间直角坐标系坐标轴:取空间一个定点O,作三条相互垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);点O叫作坐标原点(或原点).通常取x轴、y轴水平放置；z轴竖直放置,它们的正向符合右手法则.Oxyz坐标系可记作[O；，，]坐标系横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系坐标面：空直角间坐标系中任两轴确定的平面.xOy面、

yOz面、xOz面.卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点zxoy这六个平面与x,y,z轴分别相交于向量在坐标轴上的分向量称有向线段的值为向量在x轴上的投影有向线段的值为向量在y轴上的投影有向线段的值为向量在z轴上的投影依次记作即xoy由图上可以看出而——称为基本单位向量xoy——向量在三个坐标轴上的分向量——向量的分解式向量在三个坐标轴上的投影——称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为——向量的坐标表示式xoy特殊地：——称为向径四、利用坐标作向量的线性运算设(为实数)推论：则例5求解以向量为未知元的线性方程组其中解犹如解以实数为未知元的线性方程组一样，可解得以的坐标表示式代入，即得解设为直线上的点，由题意知：这就是点M的坐标.例6

已知和以及实数AB直线上求点M,使)(Bx2,,y2,z2)(Ax1,,y1,z11-¹l，在五、向量的模、方向角、投影1.两点的距离公式与向量的模空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为向量的模解原结论成立.解设P点坐标为所求点为例10已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与AB方向相同得

单位向量.解因为AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以于是例9在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.解因为所求的点M在z轴上,所以设M(0,0,z),依题义有即两边去根号,解得z=所求的点M(0,0,).2.方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.设AB类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析可知方向余弦

向量的方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为例11已知两点和，计算向量

的模、方向余弦和方向角.

解解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或解依题意有由关系式得因点A在第卦限,知，故于是这就是点A的坐标.例13设点A位于第卦限,向径OA与x轴、y轴的夹角依次为和，且，求点A的坐标。解3.向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影:.设，则数称为向量

在轴上的投影，记作或.

设则或记作过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影.(即),

性质1其中为向量与轴的夹角;

性质2(即);(即).

性质3例15设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,

且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

记

有于是Prj解六、小结1.向量的概念（留意与标量的区分）2.向量的加减法（平行四边形法则）3.向量与数的乘法（留意数乘后的方向）6.向量在坐标轴