《概率论与数理统计》课程教案

《概率论与数理统计》课程教案主讲教师 所在单位授课班级专业撰写时间教案编号09-0302教案内容 3.3条件分布 3.4相互独立的随机变量 学时2教学目标基本要求（1）掌握二维随机变量（X,Y）勺条件分布的概念和计算（离散型和连续型）；（2）理解并掌握两个随机变量相互独立的概念和判别。能力要求.培养能力要求：a）掌握概率论和数理统计中的基本概念和性质并能够运用到复杂工程问题的适当表述之中；b）能够针对工程应用系统或过程的特点选择合适的概率分布来描述随机现象的统计规律性；.具体体现在：本章是第二章一维随机变量的各个概念方法到二维的扩展，本章涉及到很多积分、导数、函数、反函数等的概念和计算。并且将一维分布和条件分布扩展到二维以后，更加适用于实际工程问题。教学重点（1）二维随机变量（X,Y的条件分布的概念和计算（离散型和连续型）；（2）两个随机变量相互独立的判别。教学难点二维随机变量的条件分布教学方法提问、讲授、启发、讨论工具仪器多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表教学安排考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结教学过程教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明备注第一部分：旧知识点复习和新课内容概述（5分钟）在上一节中，我们主要学习了二维随机变量的概念和联合分布以及边缘分布：其目的是理解并掌握随机变量的二维分布的定义和几何含义，以及边缘分布的计算。本节我们将进一步讨论二维随机变量的条件分布，以及两个随机变量相互独立的条件：其目的是学会计算二维随机变量的条件分布，会判别两个随机变量是否相互独立。本次课主要讲解二维随机变量的条件分布以及两个随机变量独立性的判定。板书，回顾第二部分：二维随机变量的条件分布（55分钟）由条件概率自然引出条件概率分布的概念离散型随机变量的条件分布律：设（X,Y是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=Xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…（X,Y大于X和关于Y的边缘分布律为P{X=x}=pi?= Pj,i=1,2,…，P{Y=yj}=p?j= Pij,j=1,2,…j1 i1考虑在事件{Y=yj}发生的条件下，事件{X=xi}发生的概率，即求事件{X=Xi|Y=yj},i=1,2,…发生的概率由条件概率公式：P{X=xi|Y=yj}=P{X=Xi,Y=yj}/P{Y=yj}=pj/p?j,i=1,2,…其中P{Y=yj}>0该条件概率具有分布律的性质：.非负性 pj 1 1.归一性： P{XXi|Yyj}= —= pj= p?j=1i1 i1p?j p?ji1 p?j条件分布律定义：设（X,Y足二维离散型随机变量，对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=Xi|Y=yj}=P{X=Xi,Y=yj}/ P{Y=yj }=p" p?j, i=1, 2,…为在 Y= yj 条件下，随机变量X的条件分布律。同样的，对于固定的i,若P{X=Xi}>0,则称P{Y=yj|X=Xi}=P{X=Xi,Y=yj}/P{X=Xi}=pj/pi?,j=1,2,…为在X=Xi条件下，随机变量Y的条件分布律。例2:一射手进行射击，击中目标的概率为p（0<p<1）,射击直到击中目标两次为止。 PPT设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。解：实际上本题是求三个分布律：P{X=m,Y=n},P[Y=n|X=m},P{X=m|Y=n}按题意，Y=n表示第n次射击时击中目标，且在前n—1次射击中恰有一次击中目标，各次射击是相互独立的。这样{Y=n,X=m}表示分别在第m次和第n次击中目标而其它n—2次没击中这一事件。于是

P{X=mN=n}=(1—p)?…？(1—p)?p?(1—p)…？(1—p)?p=p2(1—p)n2第m次 第n次即联合分布律为P{X=m,Y=n}=p2(1—p)n2,m=1,2,…，n=2,3,…，m<n又关于X的边缘分布律：2 m12P{X=m}=P{Xm,Yn}=p2(1p)n2=p(p)=p(1-p)m1,nm1 nm1 । (1p)m=1,2,…n1P{Y=n}= p2(1p)n2=(n—1)p2(1—p)n2,n=2,3,…m1于是由条件分布律的定义：当m=1,2,…时P{Y=n|X=m}=P{Y=n,X=m}/P{X=m}=p2(1—p)n2/p(1—p)m1=p(1—p)nm1,n=m+1,m+2,…当n=2,3,…时P{X=m|Y=n}=P{Y=n,X=m}/P{Y=n}=p2(1—p)n2/(n—1)p2(1—p)n2=1/(n—1),m=1,2,…，n—1※在写条件分布律P{Y=n|X=m}时一定在分布律之前给出条件 PX=m}不等于0的范围，而在分布律之后也要注明 Y的取值范围。连续型随机变量的条件概率密度：对于连续型随机变量由于对于任意的 x或者y,P{Y=y}=0,P{X=x}=0,无法用条件概率公式计算P{X=x|Y=y}。转而求分布函数P{X虫|Y=y}并记为Fx|y(x|y)由于P{Y=y}=0,我们讨论在一个充分小的邻域内事件{y-<Y5+。发生的条件下的X今的概率P{X及|y-ky2其中Ky—<Y5+打0然后对任意的x,令/0对P{X或y—<Y。取极限得到FX|Y(x|y)=P{X阳丫=y}P{X叔|y-<力+}Fx|y(x|y)=limPX阳y-<Y可+朗『o=limP{Xx,yP{YYy}Yy})F(x,y)]/2))F(x,y)]/2)Fy(y )]/2=F(x,y)/ydFy(y)/dy=limF(x,y)F(x,y!而后”0Fy(y )Fy(y) 0[Fy(yyx x/yf(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x,y)fY(y)fY(y)dxdyfY(y)类似的有FY|x(y|x)=F(x,y)/yf(x,y)dFy(y)/dyfx(x)dxdy与概率密度的定义比较，给出条件概率密度的定义条件概率密度定义：设二维随机变量(x,Y的概率密度为f(x,y),(x,Y/于Y的边缘概率密度为fY(y),若对于固定的y,fY(y)>0,则称f(x,y)f密度为fY(y),若对于固定的y,fY(y)>0,则称f(x,y)fY(y)为Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fx|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)'x称Fx|y(x|y)=P{x虫|Y=y}= fxY(x|y)dx=f(x,y)fY(y)dx为Y=y的条件下X的条件分布函数类似的有fY|x(y|x)=f(x,y)fx类似的有fY|x(y|x)=f(x,y)fx(x)，FY|x(y|x)=f(x,y)fY(y)dyPPTPPT※在求解条件概率密度fx|Y(x|y)时，前面要给出条件fy(y)>0的y的区间，在后面给出x的取值范围。在(-,)区间上都有定义。例3有界区域内的均匀分布定义：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(x,Y具有概率密度f(x,y)A，(x,y)G,则称(x,Y在G上服从均匀分布。0,其它现设(x,Y直圆域x2+y24上服从均匀分布，求条件概率密度仅|Y(x|y)。解：1)求联合概率密度

TOC\o"1-5"\h\z1 2 2d,xy1f(x,y)= '0,其它2)求边缘概率密度，确定满足fY(y)>0的y的范围1 2 2fY(y)= f(x,y)dx= 户—dx-J1y,1y10, 其它3)在y的范围内计算条件概率密度f(x,y)/fY(y)当一1<y<1时有fX|Y(x|y)=f(x,y)— 1/(2、"y2),d?Vx；1y2fY(y) 0, 其它对于区域G,固定y可解得x的fx|Y(x|y)非0范围，注意条件概率中，作为条件的y是确定的实数，y的取值不同获得的条件概率密度也不同当y=0时，及y=1/2时fx|Y(x|y)均是相应区间上的均匀分布，但区间长短和概率密度值不同。0.50.577y1-1O—0.866O0.8660.577y1-1O—0.866O0.866xPPT例4:设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值，求Y的概率密度fY(y).由条件概率密度-》联合概率密度-》边缘概率密度10x1解：由题意，X具有概率密度fX(x)=, ,在(0<x<1)区间内，对于任意给定的0,其它1x,在*=x条件下，Y的条件概率密度为fY|X(y|x)=7^x,xy10,其它由于fY|X(y|x)=f(x,丫)，所以f(x,y)=fY|X(y|x)fX(x)(类似于乘法定理)fX(x)※这里要把fY|X(y|x)和fX(x)的非0区间合并，其它区域联合密度为 0

1f(x,y尸i一x，0xy1,0,其它一 y1于是fY(y)= f(x,y)dx= 0i~~7dx ln(1y)，0y10, 其它第三部分：相互独立的随机变量(20分钟)本节学习两个随机变量相互独立的重要概念，通过两个事件的独立性来研究定义：设F(x,y)及Fx(x)和FY(y)分别是二维随机变量(X,Y的分布函数及边缘分布函数,若对于所有x,y有PX奖丫力}=P{X务P{Y明，即 Rx,y)=Fx(x)FY(y)则称随机变量X和丫是相互独立的。对于连续型随机变量(X,Y),f(x,y)及fX(x)和fY：y)分别为其概率密度和边缘概率密度:X和丫相互独立的条件等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为 0的集合(点，线)以外，处处成立对于离散型随机变量(X,Y),X和Y相互独立的条件等价于P{X=xi,Y=yj}=P{X=x}P{Y=yj}对于X和Y的所有可能取值(x,yj)都成立，或记为pj=pi?p?j,i,j=1,2,…※在实际中，考察两个随机变量的独立性往往用概率密度和分布律的定义比较方便此时(X,YNN(世，gd2此时(X,YNN(世，gd2,(22,1(x1 2(1f(x,y)= e212.1 2p)TOC\o"1-5"\h\z2 21)22(x1)(y 2)(y2)22 21 12 2,一oovxvoo,—oovyvoo。而前面已经证明：X〜N(国，(n2),Y〜N(叱，c22)1(x1)2(y2)21 2 2 2对任意的x,y有fX(x)fY(y)= e1 22 12「•有如下结论：1。当p=0时，f(x,y)=fX(x)fY(y)处处成立，X和Y相互独立2若X和Y相互独立，则由于f(x,y)及fX(x)和fY(y)是连续函数，对任意的x,y有f(x,y)1 1 一-=fX(x)fY(y),不妨令x=世,y=陛代入等式有 1 = ,即-0。2 12.1 2 2 12综上：对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数 p=0在第二节的例1中，F和D由于P{D=1,F=0}=1/10 P{D=1}P{F=0}因而不是相

互独立的PPT例：一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8〜12时之间，PPT他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7〜9时之间，设两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟=1/12小时的概率解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则相应的概率密度：fx(x);1/4,8fx(x);1/4,8Qx12r1/2,7其它‘"")=0,y9 .入它,求K|X-丫|词/12}先求联合概率密度f(x,y)由于二者独立,f(x,y)=f由于二者独立,f(x,y)=fx(x)fY(y)=(1/4)(1/2),8x12,7y90,其它为求概率首先画出区域|y—x|4/12 IIIII * IIIII *O8 10 12 x概率密度函数与区域|y-x|<1/12的公共部分G是四边形BCCB'仅当X和Y的取值落在区域G内时，相差不超过1/12小时，于是P{|X—Y|4/12}=f(x,y)dxdy=1/8X(G的面积) (由于f(x,y)是均匀分布)G=1/8X(AABC勺面积—MBC'的面积)=1/8X[1/2(1+1/12)2—1/2(1-1/12)2]=1/48第三部分：推广到n维(10分钟)推广到n维：①分布函数n维随机变量(Xi,X2，…,Xn)的分布函数定义为，对于n个任意实数xi,x2,---xn,n元函数：F(xi,x2, xn尸P{X1双1,X2金,….碗}称为n元随机变量(X1,X2，…,Xn)的分布函数。②概率密度若存在非负函数f(x1,x2，…，xn),对于任意实数x1,x2,…xn,有xnxn1 xnF(xi,x2,…xn尸 f(Xi,x2,,xn)dx〔dx2dxn称f(Xl,X2，…，xn)为n元随机变量(Xl,X2，…,Xn)的概率密度函数。③边缘分布函数n元随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(X1,X2,…力十已知，则(X1,X2,…,Xn)的k维边缘分布函数就随之确定。如：关于Xi的边缘分布函数为：FX(o°...oo,xi,OO...OO)关于Xi,X的边缘分布函数为：5%,耳(°°…oo,xi,oo...oo,x,OO...OO)④边缘概率密度函数若f(xi,x2，…，xn)是(Xl,X2，…,Xn)的概率密度，则关于X的边缘概率密度fXi(xi)= f(x1,x2, ,xn)dx1 dx1dxi1 dxn关于Xi,X的边缘概率密度fX,X(xi,xj)= f(x1,x2, ,xn)dx1 dx1dxi1dxj1dxj1dxn⑤独立性若对于所有的实数x1,x2, 有F(x1,x2,••-xn)=FX1(x1)FX2(x2)•-•FXn(xn)则称X1,X2,…,Xn相互独立。⑥独立性2若对于所有的实数x1,x2, xm,y1,y2,…丫门有F(x1, x2, •xm, y1, y2, ••• yn)= F1(x1, x2, •xm) F2(y1, y2, …yn), 其中 F1, F2,F依次为随机变量(X1,X2,…,Xm),(Y1,Y2,…刃和(X1,X2, ,Xn,Y1,Y2,…,Yn)的分布函数，则称随机变量(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y…,Yn)是相互独立的。定理：设(X1,X2,…