2023年高考数学第八章立体几何专题28空间几何体的表面积和体积考场高招大全

专题28空间几何体的外表积和体积考场高招1求几何体外表积的解题规律1.解读高招几何体特征求解规律典例指引以三视图为载体依据“正视图反映几何体的长和高,侧视图反映几何体的高和宽,俯视图反映几何体的长和宽〞来确定外表积公式中涉及的根本量典例导引1(2)多面体将多面体的外表积通过“裁〞“展〞分解为假设干个平面图形的面积之和典例导引1(1)不规那么几何体通常将所给几何体通过“割〞或“补〞转化成常规的柱、锥、台,先求这些柱、锥、台的外表积,再通过求和或作差求得原几何体的外表积与球相关求球的外表积关键是求球的半径,利用球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构建直角三角形,把空间问题转化为平面问题,利用R2=r2+d2解决典例导引1(3)2.典例指引1(1)某几何体的三视图如下图,那么该几何体的外表积为()(2)某三棱锥的三视图如下图,该三棱锥的外表积是()A.28+6 B.30+6C.56+12 D.60+12(3)(2023广东惠州二调)球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R,AB=AC=BC=3,那么球O的外表积为.

【答案】(1)D(2)B(3)16π3.亲临考场1.(2023课标Ⅰ,理6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.假设该几何体的体积是,那么它的外表积是()A.17π B.18π C.20π D.28π【答案】B由三视图知该几何体是平行六面体,且底面是边长为3的正方形,侧棱长为3,所以该几何体的外表积为S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+18,应选B.2.(2023课标Ⅲ,理9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,那么该多面体的外表积为()A.18+36B.54+18C.90D.81考点63几何体的体积考场高招2求几何体的体积的四大方法1.解读高招方法解读典例指引直接法对于规那么几何体,直接利用公式计算即可.假设三视图求体积,应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用公式求解典例导引2(3)解法一割补法对于不规那么几何体,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规那么的、体积易求的几何体,然后再计算.常见的有将三棱锥复原为三棱柱或长方体,将三棱柱复原为平行六面体,将台体复原为锥体等典例导引2(1)转化法经常是转换底面与高,将原来不易求解面积的底面转换为容易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解的高.常用的转化方法有平行转移和比例转移,应根据试题的特点灵活选择典例导引2(2)等积法利用三棱锥的“等积性〞可以把任何一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时,可选择容易计算的底面和高来求解;(2)利用“等积性〞可求“点到面的距离〞,方法是在面中选取三个点,与点构成三棱锥后进行求解典例导引2(3)解法二2.典例指引2(1)(2023河南九校质量考评)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱A1B1,A1C1的中点,那么平面A.8∶7 B.8∶5 C.7∶5 D.7∶4(2)(2023河北唐山模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD,∠ABC=60°,N为线段PC上一点,CN=3NP,M为AD的中点.①证明:MN∥平面PAB;②求点N到平面PAB的距离.(3)(2023广东汕头期末统考)如图,正四面体SABC的侧面积为48,O为底面正三角形ABC的中心.①求证:SA⊥BC;②求点O到侧面SBC的距离.(1)【解析】设直三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,底面积为4S那么×h×3S+=hS+=hS+=hS+h·4S=Sh,所以两局部的体积比为Sh=7∶5,应选C.∵CN=3NP,∴点N到平面PAB的距离d=AC=.(3)①【证明】如下图,D为BC的中点,连接AD,SD,∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵△SBC是等边三角形,D是BC的中点,∴SD⊥BC.∵AD∩SD=D,AD,SD⊂平面SAD,∴BC⊥平面SAD.∵SA⊂平面SAD,∴SA⊥BC.连接SO,那么在Rt△SAO中,SO=a.由OD·SO=SD·OE,得a×a=a·OE,∴OE=a=,即点O到侧面SBC的距离为.∴在Rt△SAO中,SO=a=.∵S△OBC=·BC·OD=×8×,∴VS-OBC=·S△OBC·SO=.∵S△SBC=×48=16,设点O到侧面SBC的距离为h,∴由VS-OBC=VO-SBC,得·S△SBC·h,∴h=,即点O到侧面SBC的距离为.3.亲临考场1.(2023课标Ⅱ,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得,那么该几何体的体积为()

A.90B.63π C.42π D.36π【答案】B由题意,可知该几何体由两局部组成,这两局部分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π,应选B.2.(2023课标Ⅰ,理6)?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?〞1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛3.(2023课标Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为()考场高招3解决几何体体积最值问题的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引根本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用根本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或外表积的最值;(2)求外表积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的外表积的最小值典例导引3(3)函数法通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛组合体中的最值问题典例导引3(1)几何法由图形的特殊位置确定最值,如垂直图形位置变化中的最值典例导引3(2)2.典例指引3(1)正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积取最大值时,其高为()A.3 B. C.2 D.2(2)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,假设四面体ABCD体积的最大值为,那么这个球的外表积为()A. B.8π C. D.(3)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在一个半径为R的球面上,那么正四棱柱的侧面积有最值,为(3)如图,截面图为长方形ACC1A1和其外接圆.球心为EE1的中点O那么R=OA.设正四棱柱的侧棱长为b,底面边长为a,那么AC=a,AE=a,OE=,R2=,即4R2=2a2+b2,那么正四棱柱的侧面积:S=4ab=2a·b≤(2a2+b2)=4R2,故侧面积有最大值,为4R2,当且仅当a=b时等号成立.考点64组合体的“接〞“切〞的综合问题考场高招4与球相关的“接〞“切〞问题的解决方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引截面法解答时要找准切点,通过作截面来解决.球内切多面体或旋转体典例导引4(1)构造直角三角形法首先定球心位置,借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径,寻求球心到底面中心的距离、半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形,然后利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球典例导引4(2)补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得,故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥,从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等典例导引4(3)2.典例指引4(1)假设圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,那么圆锥的体积为.(2)假设正三棱锥的高和底面边长都等于6,那么其外接球的外表积为.(3)(2023四川自贡普高一诊)一个多面体的三视图如下图:其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形,俯视图是边长为1的正方形,假设该多面体的顶点都在同一个球面上,那么该球的外表积为.3.亲临考场1.(2023课标Ⅲ,理8)圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,那么该圆柱的体积为()【答案】B由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如下图,那么AC=1,AB=,底面圆的半径r=BC=,所以圆柱的体积是V=πr2h=π××1=,应选B.2.(2023课标Ⅲ,理10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.假设AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,那么VA.4π B. C.6π