2023年高考数学二轮复习专题5立体几何第2讲点、直线、平面之间的位置关系课后强化训练

专题五第二讲点、直线、平面之间的位置关系A组1．(2023·山东卷)直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，那么“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]假设直线a，b相交，设交点为P，那么P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，假设α，β相交，那么a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的充分不必要条件．2．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出以下命题：①假设n∥m，m⊂α，那么n∥α；②假设α∥β，n⊄β，n∥α，那么n∥β；③假设β⊥α，γ⊥α，那么β∥γ；④假设n∥m，n⊥α，m⊥β，那么α∥β．其中真命题是(C)A．①和② B．①和③C．②和④ D．③和④[解析]假设n∥m，m⊂α，那么n∥α或n⊂α，即命题①不正确，排除A、B；假设α∥β，n⊄β，n∥α，那么n∥β，那么命题②正确，排除D，故应选C．(理)(2023·河南八市高三质检)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，那么“a⊥b〞是“α⊥β〞的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]此题主要考查空间中点、线、面的位置关系．因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b〞是“α⊥β〞的必要不充分条件，应选B．3．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，假设四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，那么该球的半径为(B)A．eq\r(2) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(11),2) D．eq\f(\r(5),2)[解析]由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，那么长方体的对角线为四面体外接球的直径，∵A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝eq\f(\r(6),2)．4．矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(B)A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD〞，“AB与CD〞，“AD与BC〞均不垂直[解析]①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，假设AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵AB<BC，∴存在这样的三角形ABC，AB⊥AC，AB＝AC，∴B选项正确，∴选项D错；③假设AD⊥BC，又CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，∵BC>AB，这样的△ABC不存在，∴C错误．5．三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为eq\r(6)的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球外表积为12π，那么该三棱柱的体积为__3eq\r(3)__.[解析]4πR2＝12π，∴R＝eq\r(3)，△ABC外接圆半径r＝eq\r(2)，∴柱高h＝2eq\r(R2－r2)＝2，∴体积V＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(6))2×2＝3eq\r(3)．6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，那么四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),2))).__[解析]当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＋h＝1,R2－h2＝\f(1,2)))，∴R＝eq\f(3,4)，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝eq\f(\r(3),2)，∴R∈[eq\f(3,4)，eq\f(\r(3),2)]．7．如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E、F分别为线段AD、PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC．[分析](1)问根据线面平行的判定定理在面BEF找直线与AP平行，充分利用中点的条件．(2)证BF⊥AC，BE⊥AP即可．[解析](1)证明：如下图，连结AC交BE于点O，连结OF．∵E为AD中点，BC＝eq\f(1,2)AD，AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，又F为PC中点，∴OF∥AP．又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF．(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．∴BE⊥AC．由题意知BC綊eq\f(1,2)AD，∴BC綊ED，∴四边形BCDE为平行四边形∴BE∥CD．又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD.∴AP⊥BE．又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC．8．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.图1图2(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．[解析](1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC．又在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC．又BC∥DE且BC＝DE，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．(2)由，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由题图1可知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝eq\f(1,3)×S×A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3，由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6．B组1．直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，那么直线b和c的位置关系是(D)A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面[解析]依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．应选D．2．设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))⇒β∥γ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))⇒m⊥β③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))⇒α⊥β④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊂α))⇒m∥α其中，真命题是(C)A．①④ B．②③C．①③ D．②④[解析]①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，应选C．3．互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出以下四个命题，错误的命题是(D)A．假设a∥α，a∥β，α∩β＝b，那么a∥bB．假设α⊥β，a⊥α，b⊥β，那么a⊥bC．假设α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，那么a⊥αD．假设α∥β，a∥α，那么a∥β[解析]A中，过直线a作平面γ分别与α，β交于m，n，那么由线面平行的性质知a∥m∥n，所以m∥α，又由线面平行的性质知m∥b，所以a∥b，正确；B中，由a⊥α，b⊥β，知a，b垂直于两个平面的交线，那么a，b所成的角等于二面角的大小，即为90°，所以a⊥b，正确；C中，在α内取一点A，过A分别作直线m垂直于α，β的交线，直线n垂直于α，γ的交线，那么由线面垂直的性质知m⊥β，n⊥γ，那么m⊥a，n⊥a，由线面垂直的判定定理知a⊥α，正确；D中，满足条件的a也可能在β内，故D错．4．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图，D为ACA．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDCC．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的外表积为4eq\r(3)π[解析]如图，将直三棱柱ABC－A1B1C15．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①假设α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，那么α⊥β；②假设a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，那么α⊥β；③假设α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a⊥b；④假设a不垂直于平面α，那么a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤假设l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，那么α∥β．其中为真命题的是__②⑤__.[解析]对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠eq\r(2)，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN③MN∥平面A1B1C1D1④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是__①③[解析]在正方体中，AB1＝BC1，∵M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠eq\r(2)，∴当M为AB1的中点时，N为BC1的中点，即B1C的中点，此时MN∥AC∥A1C1，否那么MN与A1C1异面，∴②④都错；在BB1上取点E，使NE∥B1C1，那么eq\f(BE,BB1)＝eq\f(BN,BC1)＝eq\f(AM,AB1)，∴ME∥AB∥A1B1，∴平面MNE∥平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥MN，故①③正确．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1(1)证明：A1B∥平面AFC；(2)证明：B1H⊥平面AFC．[分析]分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证明．[解析](1)连BD交AC于点E，那么E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以EF∥A1B．又EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，∴A1B∥平面AFC．(2)连接B1C，在正方体中四边形A1B1CD∵H为A1C∴H也是B1D的中点，∴只要证B1D⊥平面ACF即可．由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D．又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D．∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF．8．(2023·北京卷，18)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．[解析](1)证明：