2023年高考数学二轮复习专题14直线与圆教学案理

专题14直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本局部内容主要以客观题形式考查，假设在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一局部或一个小题出现，只要掌握最根本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线斜截式y＝kx＋b不能表示与x轴垂直的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不能表示与坐标轴垂直的直线截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)适合所有的直线(3)两直线的位置关系位置关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C相交k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(4)距离公式①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2．圆的方程(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比拟，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))与r的大小关系代数法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0(4)圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1.【2023高考新课标3理数】直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，假设，那么__________________.【答案】4【变式探究】点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是()A．(0，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析(1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,x＋y＝1))得yE＝eq\f(a＋b,a＋1)，又易知xD＝－eq\f(b,a)，∴|BD|＝1＋eq\f(b,a)，由S△DBE＝eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a)×eq\f(a＋b,a＋1)＝eq\f(1,2)得b＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,a))＋1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).图①图②考点二两直线的位置关系例2、【2023高考上海理数】平行直线，那么的距离___________.【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得.点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．假设△OAB为直角三角形，那么必有()A．b＝a3 B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)(b－a3－eq\f(1,a))＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－eq\f(1,a)|＝0解析假设△OAB为直角三角形，那么A＝90°或B＝90°.当A＝90°时，有b＝a3；当B＝90°时，有eq\f(b－a3,0－a)·eq\f(a3－0,a－0)＝－1，得b＝a3＋eq\f(1,a).故(b－a3)(b－a3－eq\f(1,a))＝0，选C.答案C【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，那么|PA|·|PB|的最大值是________．解析易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq\r(5)时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案5考点三圆的方程例3．(2023·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.假设∠FAC＝120°，那么圆的方程为____________．【变式探究】【2023高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，应选A．【变式探究】一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，那么该圆的标准方程为________．解析由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝eq\f(3,2)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半径为eq\f(5,2).故圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)考点四直线与圆、圆与圆的位置关系例4．【2023江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,假设那么点的横坐标的取值范围是▲.【答案】【变式探究】【2023高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy中，以为圆心的圆及其上一点〔1〕设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；〔2〕设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；〔3〕设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】〔1〕〔2〕〔3〕【解析】解：圆M的标准方程为，所以圆心M〔6，7〕，半径为5，.〔1〕由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.〔3〕设因为，所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.【变式探究】(2023·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，那么|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8 C．4eq\r(6) D．10解析由，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以|MN|＝|y1－y2|＝4eq\r(6)，选C.答案C1．(2023·北京卷)点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，那么eq\o(AO,\s\up13(→))·eq\o(AP,\s\up13(→))的最大值为________．2.(2023·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.假设∠FAC＝120°，那么圆的方程为____________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，那么A(0，a)．又F(1，0)，所以eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－1，0)，eq\o(AF,\s\up13(→))＝(1，－a)，由题意得eq\o(AC,\s\up13(→))与eq\o(AF,\s\up13(→))的夹角为120°，得cos120°＝eq\f(－1,1×\r(1＋a2))＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\r(3).所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝11.【2023高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，那么a=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，应选A．2.【2023高考上海理数】平行直线，那么的距离___________.【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得.3.【2023高考新课标3理数】直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，假设，那么__________________.【答案】44.【2023高考新课标1卷】〔本小题总分值12分〕设圆的圆心为A,直线l过点B〔1,0〕且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.〔I〕证明为定值,并写出点E的轨迹方程；〔II〕设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕〔〕〔II〕【解析】〔Ⅰ〕因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：〔〕.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.5.【2023高考江苏卷】〔本小题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆及其上一点〔1〕设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；〔2〕设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；〔3〕设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】〔1〕〔2〕〔3〕〔2〕因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，那么圆心M到直线l的距离因为而所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.1．(2023·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径req\r(〔1－2〕2＋〔0＋1〕2)＝eq\r(2).故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22．(2023·重庆，8)直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，那么|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2) C．6 D．2eq\r(10)解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(〔－4－2〕2＋〔－1－1〕2－4)＝6，选C.答案C3．(2023·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，那么反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解析圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如下图，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋〔－1〕2))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).答案D1.【2023高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为.【答案】【考点定位】直线与圆相交的弦长问题．2.【2023全国2高考理第16题】设点M〔,1〕，假设在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，那么的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，解得，因为点M〔,1〕，所以，解得，故的取值范围是.【考点定位】直线与圆的位置关系。3.【2023四川高考理第14题】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，那么的最大值是.【答案】5【考点定位】直线与圆4.【2023重庆高考理第13题】直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，那么实数_________.【答案】【解析】由题设圆心到直线的距离为解得：所以答案应填：【考点定位】直线与圆的位置关系5.【2023陕西高考理第12题】假设圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，那么圆的标准方程为_______.【答案】【考点定位】圆的标准方程.6.【2023高考湖北卷理第12题】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，那么.【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，那么∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点定位】直线与圆7.【2023大纲高考理第15题】直线和是圆的两条切线，假设与的交点为，那么与的夹角的正切值等于.【答案】．【解析】显然两切线，斜率都存在．设圆过的切线方程为，那么圆心到直线的距离等于半径，，解得由夹角公式得与的夹角的正切值：．〔2023·新课标Ⅱ理〕〔12〕点A〔-1，0〕；B〔1，0〕，C〔0，1〕，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是〔A〕〔0，1〕(B)〔1-，〕(C)〔1-，(D)[,〕【答案】B【考点定位】本小题主要考查直线方程的根底知识以及数形结合等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.〔2023·新课标Ⅱ理〕〔9〕a＞0，x，y满足约束条件,假设z=2x+y的最小值为1，那么a=(A) (B) (C)1 (D)2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示：当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为〔1，〕，所以，解得，应选B.【考点定位】本小题考查线性规划的根底知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.〔2023·新课标Ⅱ理〕〔4〕m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l那么〔 〕〔A〕α∥β且∥α 〔B〕α⊥β且⊥β〔C〕α与β相交，且交线垂直于 〔D〕α与β相交，且交线平行于【答案】D【考点定位】本小题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断，考查同学们的空间想象与逻辑推理能力等数学根本素养，解答的关键是空间想象力.〔2023·浙江理〕13、设，其中实数满足，假设的最大值为12，那么实数________。【答案】【解析】此题是线性规划的逆向求解问题，其解法画出不等式组所表示的平面区域后，对目标函数中的进行讨论。此不等式表示的平面区域如以下图4所示：，当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；【考点定位】此题考查线性规划知识点，把不等式组所表示的平面区域表示出来，然后对k进行分类讨论即可解决；〔2023·天津理〕11.圆的极坐标方程为,圆心为C,点P的极坐标为,那么|CP|=.【答案】【考点定位】本小题主要考查圆的极坐标方程与普通方程之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键.〔2023·天津理〕4.以下三个命题:①假设一个球的半径缩小到原来的,那么其体积缩小到原来的;②假设两组数据的平均数相等,那么它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆相切.其中真命题的序号是:〔〕 (A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③【答案】C【解析】由球的体积公式可知：①正确；对③,圆心(0,0)到直线x+y+1=