2023年高考数学命题角度3.2二项分布、超几何分布及正态分布的应用大题狂练理

命题角度3.2二项分布、超几何分布及正态分布的应用1.为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示〔单位：分〕.假设成绩不低于175分者授予“优秀警员〞称号，其他队员那么给予“优秀陪练员〞称号.〔1〕假设用分层抽样的方法从“优秀警员〞和“优秀陪练员〞中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员〞的概率是多少？〔2〕假设所有“优秀警员〞中选3名代表，用表示所选女“优秀警员〞的人数，试求的分布列和数学期望.【答案】〔1〕〔2〕见解析〔２〕依题意，的取值为，，，．，,，，因此，的分布列如下：01232.继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车〞也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车〞的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ〞，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟〞，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间〔分钟〕次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.〔Ⅰ〕假设李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.〔Ⅱ〕假设李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月〔以20天计算〕平均用车费用大约是多少〔同一时段，用该区间的中点值作代表〕.【答案】〔Ⅰ〕见解析;〔Ⅱ〕542元.分布列01234P或〔Ⅱ〕每次用车路上平均花的时间〔分钟〕每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.一个月的平均用车费用约为542元.3.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．〔Ⅰ〕求甲通过自主招生初试的概率；〔Ⅱ〕试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；〔Ⅲ〕记甲答对试题的个数为，求的分布列及数学期望．【答案】〔I〕；〔II〕甲；〔III〕详见解析.试题解析：〔Ⅰ〕依题意，所求概率．〔Ⅱ〕乙通过自主招生初试的概率；因为，故甲通过自主招生初试的可能性更大．〔Ⅲ〕依题意，的可能取值为2,3,4；；；；故的分布列为：234所以．点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②各类对象的个数；③从中抽取假设干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．4.某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布，现从甲校100分以上〔含100分〕的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下：〔注：表中试卷编号〕〔1〕列出表中试卷得分为126分的试卷编号〔写出具体数据〕；〔2〕该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图〔如图6〕，试通过茎叶图比拟两校学生成绩的平均分及分散程度〔均不要求计算出具体值，给出结论即可〕；〔3〕在第〔2〕问的前提下，从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上〔含140分〕的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为，求的分布列和期望.〔附：假设随机变量服从正态分布，那么，，〕【答案】〔1〕126分的试卷编号分别为48，88;〔2〕见解析；〔3〕见解析.试题解析：所以的分布列为0123因此．5.在一次爱心捐款活动中，小李为了了解捐款数额是否和居民自身的经济收入有关，随机调査了某地区的个捐款居民每月平均的经济收入.在捐款超过元的居民中，每月平均的经济收入没有到达元的有个，到达元的有个；在捐款不超过元的居民中，每月平均的经济收入没有到达元的有个.〔1〕在下列图表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否超过元和居民毎月平均的经济收入是否到达元有关？〔2〕将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量居民中，采用随机抽样方法毎次抽取个居民，共抽取次，记被抽取的个居民中经济收入到达元的人数为，求和期望的值.每月平均经济收入到达元每月平均经济收入没有到达元合计捐款超过元捐款不超过元合计附:，其中【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.试题解析：(1)由题意可知，表格如下每月平均经济收入到达元每月平均经济收入没有到达元合计捐款超过元捐款不超过元合计6.质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：〔Ⅰ〕写出频率分布直方图〔甲〕中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，，试比拟，的大小〔只要求写出答案〕；〔Ⅱ〕估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；〔Ⅲ〕由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于〔14.55，38.45〕的桶数，求的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得②假设，那么，．【答案】〔1〕，.〔2〕〔3〕试题解析：〔Ⅰ〕，.〔Ⅱ〕设事件：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标不大于20，且另一个不大于20，那么，，∴，〔Ⅲ〕计算得：，由条件得，从而，∴从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于〔14.55,38.45〕的概率是0.6826，根据题意得，∴.7.团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时参加多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已参加了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们参加这三家团购网站的情况如下列图所示.〔1〕从所调查的50家商家中任选两家，求他们参加团购网站的数量不相等的概率；〔2〕从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；〔3〕将频率视为概率，现从市随机抽取3家已参加团购网站的商家，记其中恰好参加了两个团购网站的商家数为，试求事件“〞的概率.【答案】〔1〕;〔2〕从而的分布列为012;〔3〕.〔2〕由题，知的可能取值分别为0，1，2，，，从而的分布列为012.8.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，这个招标问题中，甲公司可正确答复其中的道題目，而乙公司能正确答复毎道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的答复都是相互独立，互不影响的.〔1〕求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；〔2〕请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】〔1〕〔2〕甲公司竞标成功的可能性更大.试题解析：〔1〕由题意可知，所求概率.(2)设甲公司正确完成面试的题数为,那么的取值分别为，，.,，.那么的分布列为：.设乙公司正确完成面试的题为,那么取值分别为，，，.,,,那么的分布列为：9.某校为了解高一学生周末的“阅读时间〞，从高一年级中随机抽取了名学生进行调査，获得了每人的周末“阅读时间〞〔单位：小时〕，按照分成组，制成样本的频率分布直方图如下图：〔Ⅰ〕求图中的值；〔Ⅱ〕估计该校高一学生周末“阅读时间〞的中位数；〔Ⅲ〕用样本频率代替概率.现从全校高一年级随机抽取名学生，其中有名学生“阅读时间〞在小时内的概率为，其中.当取最大时，求的值.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕;〔Ⅲ〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用频率分布直方图中所有小矩形面积〔频率〕之和为1可求得；〔Ⅱ〕中位数就是把直方图所有小矩形面积平分的那一点；〔Ⅲ〕在取出的名学生中，周末阅读时间在中的有人，那么服从二项分布，由此可得，其中.用相除法可求得的最大值．〔Ⅱ〕设中位数为小时.因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以.由，解得.故可估计该校高一学生周末“阅读时间〞的中位数为小时.〔Ⅲ〕设在取出的名学生中，周末阅读时间在中的有人，那么服从二项分布，即，那么恰好有名学生周末阅读时间在中的概率为，其中.设.假设，那么；假设，那么.所以当时，最大.所以的取值为.10.某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量〔单位：千克〕与该地当日最低气温〔单位：〕的数据，如下表：x258911y1210887〔1〕求出与的回归方程；〔2〕判断与之间是正相关还是负相关；假设该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；〔3〕设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，，.②，，假设～，那么，.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕试题解析：解：(1)∵令,，,∴∴∴〔或者：〕∴所求的回归方程是(2)由知与之间是负相关，将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克)〔或者：〕