2023年高考数学一轮复习第10章概率第3节几何概型学案文北师大版

第三节几何概型[考纲]1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第153页)[根底知识填充]1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，假设点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝eq\f(G1的面积,G的面积)，那么称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的根本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数的个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是eq\f(1,10).()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是()A[P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]3．(2023·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．eq\f(7,10)B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8)D．eq\f(3,10)B[如图，假设该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，那么该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，应选B．]4．(2023·石家庄模拟)如图10­3­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为________．图10­3­10．18[由题意知，eq\f(S阴,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18.∵S正＝1，∴S阴＝0.18.]5．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.【导学号：00090357】1－eq\f(π,4)[如下图，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影局部表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影局部的面积S阴＝4－π，∴所求事件的概率P＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).](对应学生用书第154页)与长度(角度)有关的几何概型(1)(2023·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)图10­3­2(2)如图10­3­2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，那么射线AP与线段BC有公共点的概率为________．(3)(2023·江苏高考)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D．在区间[－4,5]上随机取一个数x，那么x∈D的概率是________．(1)B(2)eq\f(1,3)(3)eq\f(5,9)[(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).应选B．(2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′.依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，那么事件“点P′在上发生〞．又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝eq\f(π,6).故所求事件的概率P＝＝eq\f(\f(π,6)·1,\f(π,2)·1)＝eq\f(1,3).(3)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝eq\f(5,9).][规律方法]1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度〞为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度〞计算几何概型的概率，导致错求P＝eq\f(1,2).(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1](1)(2023·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，那么弦长超过半径eq\r(2)倍的概率是()【导学号：00090358】A．eq\f(3,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,5)(2)(2023·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，那么事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交〞发生的概率为________．(1)B(2)eq\f(3,4)[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，那么当点B在上运动时，弦长|AB|＞eq\r(2)R，∴P＝＝eq\f(1,2).(2)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).由几何概型的概率计算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).]与面积有关的几何概型角度1与模拟方法相关的几何概型(2023·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A．eq\f(4n,m)B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)C[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如下图．假设两数的平方和小于1，那么对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]角度2与线性规划交汇问题(2023·长沙模拟)在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,16)C．eq\f(9,16) D．eq\f(3,4)D[由x，y∈[0,4]可知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如下图的阴影局部．易知A(4,2)，S正方形＝16，S阴影＝eq\f(2＋4×4,2)＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(3,4).][规律方法]求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．[变式训练2](1)(2023·全国卷Ⅰ)如图10­3­3，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是()【导学号：00090359】图10­3­3A．eq\f(1,4)B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)(2)(2023·莆田模拟)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，那么所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是()A．eq\f(π,8)B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)(1)B(2)B[(1)不妨设正方形ABCD的边长为2，那么正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),2×2)＝eq\f(π,8).应选B．(2)任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴)，故所求概率P＝eq\f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq\f(π,4).]与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，那么点P到点OA．eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C．eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)B[设“点P到点O的距离大于1”为事件A．那么事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．∴V正方体＝23＝8，V半球＝eq\f(4,3)π·13×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)π.∴P(A)＝eq\f(23－\f(2,3)π,23)＝1－eq\f(π,12).][规律方法]对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[