2023年高考数学一轮复习第十三章推理与证明第85课综合法与分析法教案

综合法与分析法一、教学目标结合已学的教学案例，了解直接证明的两种根本方法：综合法和分析法，以及间接证明方法：反证法；了解综合法，分析法以及反证法的思考过程，特点；培养学生逻辑推理能力．二、根底知识回忆与梳理回忆要求1．阅读选修1-2第46~50页〔理科：选修2-2第82~86页〕，完成以下任务：〔1〕分析法、综合法的思考过程和特点分别是什么？这两种证明方法有什么不同之处？〔2〕反证法证题的一般步骤是什么？试举例说明.〔3〕直接证明和间接证明有什么区别？如何正确选择综合法、分析法、反证法？2．完成教材第48页练习第1、4题；第50页练习第4题〔理科：第84页练习第1、4题；第86页练习第4、5题〕．要点解析1.直接证明，直接从原命题的条件逐步推得命题成立.分析法和综合法是直接证明的两种根本方法.在实际的解题活动中，往往将两者结合起来使用.综合法一般从条件出发，“由因导果〞；分析法一般紧抓证题目标，“执果索因〞.2.间接证明，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立.反证法就是一种常用的间接证明方法.反证法的实质在于：假设肯定定理的假设而否认其结论，就会导致矛盾，其一般步骤是：〔1〕假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；〔2〕从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；〔3〕由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论．【总结】帮助学生回忆综合法，分析法以及反证法的证明模式三、诊断练习1．用反证法证明命题“设为实数，那么方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根〞时，要做的假设是_____________________【分析】反设是反证法的根底，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．2．求证．【分析】估值可以说明这个不等关系，但不是严格意义上的证明，由于，，都是无理数，直接证明有困难.问1：等式两边的式子有何特征？——3+6=4+5；问2：如何处理？——两边平方．【点评】当不能轻易证明时，往往先研究结论，执果索因，采取分析法证明.此题：要证：，即证，得证.3．设为非零向量，且不平行，求证:与不平行．【分析】在证明一些否认性命题，惟一性命题，或含有“至多〞，“至少〞等字句的命题时，正面证明较难，那么考虑反证法，即“正难那么反〞．问1：假设与平行，可以得到两向量有怎样的等量关系？问2：设，那么，由为非零向量，能推导什么结论？四、范例导析例1：假设是不全相等的正数，求证：++．【教学处理】让学生自行完成，学生会感觉到困难．师：题目外表很难找到条件与结论之间的联系，从而导致证明无法进行，用综合法证明很困难，那么我们能否反向考虑呢？——引导学生利用分析法证明师生合作共同完成：分析法证明：要证++，只需证··，只需证··＞．但是，，，．且上述三式中的等号不全成立，所以，··＞．因此++．【点评】解决问题时，用分析法还是综合法无关紧要，但是在遇到困难时，由结论向前推出这种思考模式却是非常常见的，应熟练运用．变式：：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：【点评】解决问题时，用分析法还是综合法无关紧要，但是在遇到困难时，由结论向前推出这种思考模式却是非常常见的，应熟练运用．例2，证明方程没有负数根．【教学处理】给学生两分钟时间，让学生自行处理，然后找学生答复解题思路。反证法证明：假设是的负数根，那么且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根．【点评】否认性命题从正面突破往往比拟困难，故用反证法比拟多。例3(1)x，y∈R，求证：不等式：①eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2≥(eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y)2；②eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)y2≥(eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)y)2；③eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)y2≥(eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)y)2；(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．【教学处理】问1：看到要证明的结论你想到什么？——〔可让学生简单说说自己的想法〕由3名学生上黑板解答第1问的3小题有了第1问的根底，第2问由学生自行解决。解题过程：(1)证明：①∵eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2－(eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y)2＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)xy－eq\f(1,4)y2＝eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,4)y2＝eq\f(1,4)(x－y)2≥0，∴eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)y2≥(eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y)2.②∵eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)y2－(eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)y)2＝eq\f(2,9)x2＋eq\f(2,9)y2－eq\f(4,9)xy＝eq\f(2,9)(x2＋y2－2xy)＝eq\f(2,9)(x－y)2≥0，∴eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)y2≥(eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)y)2.③∵eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)y2－(eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)y)2＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)y2－(eq\f(1,16)x2＋eq\f(3,8)xy＋eq\f(9,16)y2)＝eq\f(3,16)x2＋eq\f(3,16)y2－eq\f(3,8)xy＝eq\f(3,16)(x2＋y2－2xy)＝eq\f(3,16)(x－y)2≥0，∴eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)y2≥(eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)y)2.(2)一般的结论是：x，y∈R，a，b都是正数，且a＋b＝1，那么ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明如下：∵a＋b＝1，∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.【点评】此题意在考察学生推理证明的综合能力，以学生独立解决为主。五、解题反思：1.本节的内容要注意思维方式的训练、培养，证明过程的书写也要清晰标准，三种证明方法的选用要灵活