2023年高考数学一轮复习课时分层训练24正弦定理和余弦定理理北师大版

课时分层训练(二十四)正弦定理和余弦定理(对应学生用书第243页)A组根底达标一、选择题1．在△ABC中，假设eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，那么B的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°B[由正弦定理知：eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.]2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，那么此三角形的解的情况是()A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(,3),2),20)＝eq\r(,3)＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，∠B＝eq\f(π,6)，那么△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形D[根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC4．在△ABC中，假设AB＝eq\r(,13)，BC＝3，∠C＝120°，那么AC＝()A．1 B．2C．3 D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC5．(2023·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，那么△ABC【导学号：79140133】A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．1 D．2A[因为cos2A＝sinA，所以1－2sin2A＝sinA，那么sinA＝eq\f(1,2)(舍负)，那么△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，应选A.]二、填空题6．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，那么其最大内角的余弦值为________．－eq\f(1,4)[因为c＞b＞a，所以在△ABC中最大的内角为角C，那么由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq\f(1,4).]7．如图3­7­1所示，在△ABC中，点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，那么BD的长为________．图3­7­1eq\r(3)[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).]8．(2023·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，那么C＝________.【导学号：79140134】eq\f(π,6)[因为a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，那么sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).从而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C为锐角，故C＝eq\f(π,6).]三、解答题9．(2023·银川质检)如图3­7­2，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.图3­7­2(1)求角A的大小；(2)假设c＝eq\r(2)，角B的平分线BD＝eq\r(3)，求a.[解](1)∵2acosC－c＝2b，∴由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC.∵sinC≠0，∴cosA＝－eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2π,3).(2)在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sinA)，∴sin∠ADB＝eq\f(ABsinA,BD)＝eq\f(\r(2),2).又AB＜BD，∴∠ADB＝eq\f(π,4).∴∠ABC＝eq\f(π,6)，∠ACB＝eq\f(π,6).∴AC＝AB＝eq\r(2)，由余弦定理得a＝BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·ACcosA)＝eq\r(6).10．(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)假设c＝eq\r(7)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．[解](1)由及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6.由及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋eq\r(7).B组能力提升11．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，那么A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C[由及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，∴cosA≥eq\f(1,2)，在△ABC中，A∈(0，π)．由余弦函数的性质，得0＜A≤eq\f(π,3).]12．(2023·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，那么以下等式成立的是()A．a＝2b B．b＝2C．A＝2B D．B＝2A[∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.应选A.]13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，那么cosA【导学号：79140135】－eq\f(1,4)[因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC.因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝eq\f(3,2)c，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝－eq\f(1,4).]14．(2023·兰州模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，假设tanA＋tanC＝eq\r(3)(tanAtanC－1)．(1)求角B；(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1)∵tanA＋tanC＝eq\r(3)(tanAtanC－1)，即eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\r(3)，∴tan(A＋C)＝－eq\r(3)，又∵A＋B＋C＝π，∴tanB＝eq