2023年高考数学一轮复习课时分层训练26数系的扩充与复数的引入文北师大版

课时分层训练(二十六)数系的扩充与复数的引入A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2023·全国卷Ⅰ)以下各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．应选C．]2．(2023·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，那么a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得3．(2023·山东高考)假设复数z＝eq\f(2,1－i)，其中i为虚数单位，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i.]4．(2023·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|＝()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，应选B．]5．(2023·山东高考)i是虚数单位，假设复数z满足zi＝1＋i，那么z2＝()A．－2i B．2iC．－2 D．2A[法一：z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,i－i)＝1－i，z2＝(1－i)2＝－2i.法二：(zi)2＝(1＋i)2，－z2＝2i，z2＝－2i.应选A．]6．假设i为虚数单位，图4­4­2中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()图4­4­2A．E B．FC．G D．HD[由题图知复数z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示复数eq\f(z,1＋i)的点为H.]7．设z1，z2是复数，那么以下命题中的假命题是()【导学号：00090146】A．假设|z1－z2|＝0，那么eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)B．假设z1＝eq\x\to(z2)，那么eq\x\to(z1)＝z2C．假设|z1|＝|z2|，那么z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)D．假设|z1|＝|z2|，那么zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)D[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，假设z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，那么|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命题．]二、填空题8．(2023·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，那么z的实部是________．5[因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]9．a∈R，假设eq\f(1＋ai,2－i)为实数，那么a＝________.－eq\f(1,2)[eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2＋i＋2ai－a,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(1＋2a,5)i.∵eq\f(1＋ai,2－i)为实数，∴eq\f(1＋2a,5)＝0，∴a＝－eq\f(1,2).]10．(2023·南昌模拟)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，那么|(1－z)·eq\x\to(z)|＝________.【导学号：00090147】eq\r(10)[eq\x\to(z)＝－1＋i,1－z＝1－(－1－i)＝2＋i，所以|(1－z)·eq\x\to(z)|＝|(2＋i)(－1＋i)|＝|2＋i|·|－1＋i|＝eq\r(5)×eq\r(2)＝eq\r(10).]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．复数z1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，那么以下命题中错误的选项是()A．zeq\o\al(2,1)＝z2B．|z1|＝|z2|C．zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝1D．z1，z2互为共轭复数C[依题意，注意到zeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2＝eq\f(1－3,4)－eq\f(\r(3),2)i＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到eq\x\to(z1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此选项D正确；注意到zeq\o\al(3,1)＝zeq\o\al(2,1)·z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝1，同理zeq\o\al(3,2)＝1，因此zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝0，选项C错误．综上所述，选C．]2．(2023·濮阳模拟)计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2017＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2017＝()A．－2i B．0C．2i D．2B[∵eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1＋i1－i)＝eq\f(2i,2)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2017＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2017＝(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i－i＝0，应选B．]3．(2023·河南百校联盟模拟)复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3z,2)＋\f(\x\to(z),2)))(1－2eq\r(2)i)＝5－eq\r(2)i(i为虚数单位)，那么在复平面内，复数z所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[设z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq\f(3z,2)＋eq\f(\x\to(z),2)＝2a＋bi，故2a＋bi＝eq\f(5－\r(2)i,1－2\r(2)i)＝1＋eq\r(2)i，故a＝eq\f(1,2)，b＝eq\r(2)，那么在复平面内，复数z所对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，位于第一象限．]4．复数z1＝cos15°＋sin15°i和复数z2＝cos45°＋sin45°i，那么z1·z2＝________.【导学号：00090148】