2023年高考数学一轮复习课时分层训练36二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题理北师大版

课时分层训练(三十六)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A组根底达标一、选择题1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影局部表示)应是()C[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))画图可知选C.]2．(2023·北京东城区综合练习(二))在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≤2，,x≤y))所表示的平面区域的面积为()【导学号：79140201】A．1 B．2C．4 D．8A[不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，那么面积为eq\f(1,2)×2×1＝1，应选A.]3．(2023·浙江高考)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))那么z＝x＋2y的取值范围是()A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)D[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示．由题意可知，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．应选D.]4．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))假设z＝ax＋y的最大值为4，那么a＝()A．3 B．2C．－2 D．－3B[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，假设z＝ax＋y的最大值为4，那么最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，所以2a＋0＝4，此时a5．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型客车不多于A型客车7辆．那么租金最少为()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元C[设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，那么约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))目标函数为z＝1600x＋2400y.可行解为图中阴影局部(包括边界)内的整点．当目标函数z＝1600x＋2400y对应的直线经过点A(5,12)时，z取得最小值，zmin＝1600×5＋2400×12＝36800.故租金最少为36800元，选C.]二、填空题6．(2023·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))那么z＝3x－2y的最小值为________．－5[作出可行域如图阴影局部所示．由z＝3x－2y，得y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2).作出直线l0：y＝eq\f(3,2)x，并平移l0，知当直线y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)过点A时，z取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,2x＋y＋1＝0，))得A(－1,1)，所以zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.]7．(2023·河南六市联考)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m.))如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，那么实数m＝________.【导学号：79140202】5[画出不等式组所表示的可行域如图中阴影局部所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x－y＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))又A(2,3)在直线x＋y＝m上，所以m＝5.]8．(2023·河南、湖北、山西三省联考)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＞0，,y≥\f(1,2)x－3，,x＋4y≤12，))那么z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))[不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，z＝eq\f(y－3,x－2)表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率．因点D(2,3)与B(8,1)连线的斜率为－eq\f(1,3)且C的坐标为(2，－2)，故由图知z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).]三、解答题9．D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图6­3­1所示．图6­3­1(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．[解](1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．10．假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)假设目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围.【导学号：79140203】[解](1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1，所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.故所求a的取值范围为(－4,2)．B组能力提升11．设z＝x＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))假设z的最大值为12，那么z的最小值为()A．－3 B．－6C．3 D．6B[不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＝k))得A(k，k)，易知目标函数z＝x＋y在点A处取最大值，那么12＝k＋k，故k＝6，所以B(－12,6)，又目标函数z＝x＋y在点B处取最小值，∴z的最小值为－6，应选B.]12．(2023·西安质检)假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|＋|y|≤1，,xy≥0，))那么2x＋y的取值范围为________.【导学号：791400204】[－2,2][作出满足不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．]13．(2023·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周方案播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？[解](1)由，x，y满足的数学关系式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影局部中的整数点．(1)(2)(2)设总收视人次为z万，那么目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－eq\f(12,5)x＋eq\f(z,25)，这是斜率为－eq\f(12,5)，随z变化的一族平行直线.eq\f(z,25)为直线在y轴上的截距，当eq\f(z,25)取得最大值时，z的值就