2023年高考数学一轮复习课时分层训练32基本不等式文北师大版

课时分层训练(三十二)根本不等式A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．x>－1，那么函数y＝x＋eq\f(1,x＋1)的最小值为()A．－1 B．0C．1 D．2C[由于x>－1，那么x＋1>0，所以y＝x＋eq\f(1,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－1≥2eq\r(x＋1·\f(1,x＋1))－1＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(1,x＋1)，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”的必要不充分条件．]3．(2023·广州模拟)x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，那么eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()【导学号：00090204】A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)C[∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴lg(2x·8y)＝lg2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.∵x＞0，y＞0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)时取等号．所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值为4.应选C．]4．(2023·许昌模拟)x，y均为正实数，且eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,y＋2)＝eq\f(1,6)，那么x＋y的最小值为()A．24 B．32C．20 D．28C[∵x，y均为正实数，且eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,y＋2)＝eq\f(1,6)，那么x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋2)＋\f(1,y＋2)))(x＋2＋y＋2)－4＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x＋2,y＋2)＋\f(y＋2,x＋2)))－4≥6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(x＋2,y＋2)·\f(y＋2,x＋2))))－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号．∴x＋y的最小值为20.]5．(2023·郑州外国语学校月考)假设a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，那么()A．R<P<Q B．Q<P<RC．P<Q<R D．P<R<QC[∵a>b>1，∴lga>lgb>0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P.∵eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]二、填空题6．(2023·华师附中模拟)假设2x＋4y＝4，那么x＋2y的最大值是__________.【导学号：00090205】2[因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x×22y)＝2eq\r(2x＋2y)，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]7．函数f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p为常数，且p>0)，假设f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p的值为__________．eq\f(9,4)[由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，当且仅当x＝eq\r(p)＋1时取等号，所以2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).]8．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x＝__________吨．20[每次都购置x吨，那么需要购置eq\f(400,x)次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为4×eq\f(400,x)＋4x万元．∵4×eq\f(400,x)＋4x≥160，当且仅当4x＝eq\f(4×400,x)时取等号，∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值．[解](1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).2分当x<eq\f(3,2)时，有3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，4分当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数的最大值为－eq\f(5,2).6分(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，8分当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为eq\r(2).12分10．x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.【导学号：00090206】[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，2分又x>0，y>0，那么1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.5分(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，那么x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.8分当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，∴x＋y的最小值为18.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·深圳模拟)f(x)＝eq\f(x2＋33,x)(x∈N*)，那么f(x)在定义域上的最小值为()A．eq\f(58,5)B．eq\f(23,2)C．eq\r(33) D．2eq\r(33)B[f(x)＝eq\f(x2＋33,x)＝x＋eq\f(33,x)，∵x∈N*＞0，∴x＋eq\f(33,x)≥2eq\r(x·\f(33,x))＝2eq\r(33)，当且仅当x＝eq\r(33)时取等号．但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最小值，当x＝5时，f(x)＝eq\f(58,5)，当x＝6时，f(x)＝eq\f(23,2)，故f(x)在定义域上的最小值为eq\f(23,2).应选B．]2．(2023·武昌模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0＜x＜1，))假设f(a)＝f(b)(0＜a＜b)，那么eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)取得最小值时，f(a＋b)＝________.【导学号：00090207】1－2lg2[由f(a)＝f(b)及0＜a＜b可得lgb＝－lga，即lg(ab)＝0，即ab＝1，那么eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(4a＋b,ab)＝4a＋b≥2eq\r(4ab)＝4，当且仅当b＝4a时，eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,b＝4a，))可得a＝eq\f(1,2)，b＝2，∴f(a＋b)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lgeq\f(5,2)＝1－2lg2.]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤