高中三角函数常见题型与解法之欧阳美创编

欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2O21.O1.O1欧阳美创编2O21.O1.O1欧阳美创编欧阳美创编2021.01.012021.01.01欧阳美创编三角函数的题型和方法时间：2021.01.01创作：欧阳美一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1二cos20+sin20二tanx・cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x;酉己凑角：a二（a+B）—B,B=—等。22（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角°asin0+bcos0=斯厂sin（0+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=匕确a定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan_的2有理式。2、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思维与常用方法。注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如a=（a+p）-P=（a-P）+p=2x-=1x2a•也要注意题目中所给的各22角之间的关系。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。

熟悉常数“1”的各种三角代换：1=sin2a+cos2卩二sec2a-tan2卩二cosa•seca二sin=cosO=tan=2sin246等。注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为tan匕的代数2式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。熟悉公式的各种变形及公式的范围，如sina二tana・cosa,1+心口=2cos2a，^c°^=tana等。2sina2利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行升降幂处理，如1-处理，如1-cos^=2sin2弓，+sina=(.aa)2(.aa)sin—+cos—,1-sina=sin——-cos—I22丿I22丿2等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角变换：sinacosa可凑倍角公式；1土cosa可用升次公式;1土sina可化为，再用升次公式；1土sina可化为，再用升次公式；±cosa\2丿asina+bcosa=Ja2+b2sin(a+甲)(其中tan^=—)这—公式应用广a泛，熟练掌握。4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y二sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图像都是平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶

点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。6、三角函数的奇偶性结论：函数y二sin（x+巾）是奇函数。甲=kK（keZ。函数y二sin（x+巾）是偶函数。申二kK+-（keZ）。2函数y二cos（x+巾）是奇函数。申二kK+-（keZ）。2函数y二cos（x+巾）是偶函数kK（keZ）。7、三角函数的单调性三、典型例题与方法题型一三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。1、三角函数的六边形法则。2、几个常用关系式：(1)sinct■+cos厲sina-cos讯sinacosa,三式知一求二。(2)(a)2(2)+sina=1+sin一I2丿(3)时,有(3)时,有sinx<x<tanx。3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。4、‘；in：上；1|"厂宀'1打：1?门：I、：°(K)（KK)sinx+—=cos——x=cosx——(4丿(4丿4丿熟记关系式欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编欧阳美创编2021.01.01欧阳美创编2021.01.011冗）5)cos=sin——x14丿14丿【例1】记cos（—80。）=k，那么tan100。=（）解:sin80=\1—cos2解:sin80=\1—cos280=、;1—cos2(—80)=\；1—k2tan100。=—tan80°=sin80J1-k2cos80k故选B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。【例2】cos300。=:（）A、—右B、-1C、丄D、逼2222解：cos300。=cos(360。—60。)=cos60。=-2评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。练习：1、sin585。的值为（）A、—旦B、空C、—亘D、迢2222、下列关系式中正确的是（）A、A、sin110<cos10。<sin168。B、sin1680<sin110<cos10。C、sin11C、sin110<sin1680<cos10。D、sin1680<cos10。<sin11。3、若sin°一—,tan°>0，则cos°=•4、“a^+2册(keZ)”是“cos2a.1”"2的（)A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件5、若cosa+2sina=—事5,贝Utana=()A、1B、22C、1一2D、-2题型二化简求值这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。【例3】已知a为第三象限的角，cos2d=-—'贝Htan（少+2a）=。54解：a为第三象限的角2kK24kn+2兀<2a<4kn+3兀（KeZ）又•/cos2a=-—<0，5又•/cos2a=-—<0，5sin2a=—71.販(—+2a)二兀宀tan+tan2a5—1+——1-t计加评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。【例4】已知tano»2，求（I）cos°+sin°；（2）cos°-sin°sin2°-sin°.cos°+2cos2°的值。Isin0解：(1)cos0+sin0=cos0=1+tan0=1+Isin0解：(1)cos0+sin0=cos0=1+tan0=1+J2=_3_空迈；

cos0+sin01sin01一tan01一迈cos0sin20-sin0cos0+2cos20sin20-sin0cos0+2cos20=sin20+cos20评注：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。练习:1、已知tan0=2，贝Hsin20+sin0cos0—2cos20二2、A、—4B、534函数f(x)=sinxcosx取小值是A、—1D、3、•1”是“c1”sina=cos2a=—22充分而不必要条件B、必要而不充分条C、充要条件D、既不充分也不必要条件题型三函数题型三函数V的图像及其性质图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A^...的意义，特别是®的判定，以及伸缩变换对、.，的影响。【例5】为了得到函数y=sin(2x—3)的图像，只需把函数

y二sin（2x+1）的图像（）6B、向右平A、向左平移1个长度单位B、向右平4移1个长度单位4C向左平移C向左平移1个长度单位2D向右平移1个长度单位2解牛：•/y=sin（2x+1）=sin2（x+），612y=sin（2x一1）==sin2（x-），36-将y二sin（2x+1）的图像向右平移1个长度单位得到64y二sin（2x-罟）的图像，故选B.评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数y=Asin（①x+Q）中的①对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。【例6】设①>0,函数y二sin（①x+1）+2的图像向右平移竺个TOC\o"1-5"\h\z3\o"CurrentDocument"单位后与原图像重合，则①的最小值是（）D、3A、2B、4CD、332解：••将y=sin（①x+1）+2的图像向右平移41个单位后为3341、兀、小•/兀4^兀、小33即山3k2k21y=sin[①（x一一^）+§]+2=sin（①x+33即山3k2k21-处=2k1,…3所以选C又•&>0所以选C-故3k3故①二>2评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期

性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。【例7】函数f(x)二(1+^''3tanx)cosx的最小正周期为()A、2“B、西C、“D、上2【答案】A【解析】由f(x)=(1+w'3tanx)cosx=cosx+J3sinx6正周期为2“,【例8】函数y二2cos2x+sin2x的最小值是【答案】1-迈【解析】f(x)=cos2x+sin2x+1=42sin(2x+上)+1，所以最小值为:1-逅4【例9】若函数f(x)=(1+y3tanx)cosx，0<x<—，则f(x)的最大值为(A、A、1B、2C、朽+1D、+2解析】答案】解析】因为f(x)=(1+tanx)cosx=cosx+\/3sinx=2cos(x-3)当x二,是，函数取得最大值为2。故选B。3练习：1、将函数y=sinx的图像向左平移p(0<pV2“)的单位后，得到函数y=sin(x-上)的图像，则p等于()6A、1B、哲C、匹D、117166662、若将函数y=tan@x+—)(®>0)后,6与函数y=tangx+—)的图像重合，则o的最小值为()6

A、丄B、iC、1D、丄64323、将函数y=Sin2X的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单4位,所得图像的函数解析式是()、y=cos、y=cos2xB、y=2cos2x1C、y=1+sin(2x+)4D、y=2sin2x4、已知函数f(x)=sin(wx+晋)(兀gR,w>0)的取小正周期为兀，y=f(x)的图像向左平移wI个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是(B、3B、318C、D、5、已知函数f(x)=sin@x+1)(xgR,e>0)的最小正周期为1，为了得4到函数g(x)=cosex的图像，只要将y=f(x)的图像()B、向右平移1个单8A、向左平移1B、向右平移1个单88位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个TOC\o"1-5"\h\z4单位长度\o"CurrentDocument"6、已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图像不可能是()7、已知函数f(x)二Acos(®x+p)的图象如图所示,f(t)=-2，则\o"CurrentDocument"23f(0)=()A、-2B、2C、一1D、1322、8、函数y=Asingx+申)(A,①,申为常数，A>0,o>0)在闭区间[-1,0]上的图像如图所示，则o=.9、已知函数y二sin(ox+p)(o〉0,-1<p<兀)的图像如图所示,

则申=10、已知函数f(x)=2sin(①x+0)的图像如图所示，则f匹=。112丿11、已知函数f(x)=sin(®x+¥)(®>0)的图像如图所示，则w=A、12、已知函数f(x)=j3sinox+cosox(o>0),y二f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于“，则f(x)的单调递增区间是()A、B、的+51,如+竺］,keZ1212C、C、［k兀,k兀+—］,keZ36D、的+ZkK+竺］,keZ6313、如果函数y=3sin(2x+申)的图像关于点(善,0)中心对称，那么|申|的最小值为()C、上D、下面结论错误的是()3下面结论错误的是()14、已知函数f(x)=sin(x-才)(xeR)，A、函数f(x)的最小正周期为2兀B、函数f(x)在区间［0,角上是增函数2C、函数f(x)的图像关于直线x=0对称D、函数f(x)是奇函数15、若x，则函数y=tan2xtan3x的最大值为4216、已知函数f(x)=sin2x一2sin2x1)求函数f(x)的最小正周期。(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。17、已知函数f(x)二isin2xsin0+cos2xcos©-isin(叟+0)(0<©<兀)，其图222像过点(L1)。6'2求o的值；将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y二g(x)的图像，求函数g(x)在［0,L］上的最大，4值和最小值。18、设函数f(x)=cos(2x+y)+sin2x。(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期。(2)设A,B,C^AABC的三个内角，若cosB二1,f(C)二-1,且C为锐角，求sinA。19、设函数f(x)二sin(竺-殳)-2cos2空+1。68求f(x)的最小正周期。若函数y二g(x)与y二f(x)的图像关于直线x=1对称，求当xG［0,3］时y二g(x)的最大值。20、设函数f(x)=(sin①x+cos①x)2+2cos2①x(①>0)的最小正周期为王。(1)求3的最小正周期。⑵若函数y=g(X)的图像是由y=f(x)的图像向右平移宁个单位长度得到，求y二g(x)的单调增区间。21、已知函数f(x)=-acos2x-2(3asinxcosx+2a+b的定义域为0,，值域为［—5，1］，求常数a、b的值。22、已知函数y1COS2X+!3sinx・cosx+1(xWR)。22当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；该函数的图像可由y二sinx(x^R)的图像经过怎样的平移和

伸缩变换得到？题型四三角函数与解三角形此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。TOC\o"1-5"\h\z【例10】在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

a2一b2=爲be，sinC二2込sinB，则A=（）A、300B、600C、1200D、1500解：由正弦定理得_R=愛-e=畑所以cosA=b2+C2-a2=-、巨be+e2=一''3be+2応be=3，所以A=300

2be2be2be2评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。【例11】在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba-+—ab=6cosC，则+c，ba-+—ab=6cosC，则+tanAtanCtanB解：ba+—ab=6cosCn6abcosC=a2+b21a1a2+b2一e2abe2e2==4abe2T评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。练习：1、在锐角AABC中，BC=1,B=2A,，AC的取值范''cosA围为。2、在aabc中，BC=45AC=3,sinC=2sinA。（I）求AB的值。（II）求sin（2A-二的值。43、在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos—=仝5，25AB-AC=3。（I）求AABC的面积；（II）若b+c=6，求a的值.4、在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=上，cosA=4,b=。（I）求sinC的值；（II）求AABC的面积.5、在AABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin且sinA=討B<10

lo-(I)求A+B的值；(II)若a-b=•迈-1，求a、b、c的值。6、设函数f(x)=2sinxcos2?+cosxsin^-sinx(0<兀)在x=兀处取最小2值。⑴求申的值；（2）在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知

a=1,b=<2,f(A)=週，求角C。27、设AABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c，cos(Acos(A-C)+cosB=b2=ac，求B。题型五三角函数与平面向量【例13】