高三理科数学考试试卷

长沙地区四县（市）2010届高三统一考试试卷理科数学本试卷分为试题卷和答题卷两部分.共150分，考试时间120分钟.第一部分试题卷注意事项：1、答卷前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚．2、请在答题卷上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效．3、考试结束后，考生只须将答题卷交回．参考公式：圆柱的侧面积公式：球的表面积公式：其中为底面半径，为母线长其中表示球的半径圆锥的侧面积公式：锥体体积公式：其中为底面半径，为母线长其中为底面积，为锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足为虚数单位）则=A． B．3 C．2 D．12．已知命题；命题，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∨(﹁q)C.(﹁p)∧qD.p∧(﹁q)3．△ABC中，，则向量与夹角的余弦值为A.B.C.D.4．A．16B．18C．20D．225．已知，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为A．B．C．D．6．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．B．C．D．7．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为A． B． C．D．8．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如，若＝2010，则i、j的值的和为A．74B．75C．76D．771124357681012911131517141618202224．．．．．．．第6题图第8题图第6题图第8题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填写在答题卡中的横线上．9．用0.618法寻找最佳点时，到达精度0.1的要求,需要次试验(参考值)10．如图是篮球联赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是．11．对任意非零实数，若的运算原理如下图所示，则______．12．在等比数列中，，则13．设，则的最小值为．14．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，的平分线与⊙相交于．已知，，则；过、分别作⊙的切线，则这两条切线的夹角．15．在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得…相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果为第14题图第14题图三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量，函数的图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标.（1）求的解析式.（2）在△中，是角所对的边，且满足，求角的大小以及取值范围.17．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．18．（12分）“甲型H1N1流感”已经扩散，威胁着人类．某两个大国的研究所A、B，若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研制成功的概率分别为；若资源共享，则提高了效率，即他们研制成功的概率比独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功可获得经济效益万元,而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配.请你给A研究所参谋:是否应该采用与B研究所合作的方式来研究疫苗,并说明理由.19．（13分）已知函数．（1）当时，证明函数只有一个零点；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．20．（13分）某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB,且为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为（0°＜＜90°），且．现从山脚的公路AB某处C0开始修建与公路AB成角的盘山公路C0C1，C1C2，C2C3，……，Cn-1Cn（如图所示）．其中0＜＜90°，sin=(1)试问：垂直高度每升高100米，盘山公路需修建多长？若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？（2）若修建盘山公路为x，其造价为万元．而修建索道的造价为2a元/．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．21．（13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.长沙地区四县（市）2010届高三统一考试试卷理科数学参考答案一、选择题：ACDBACBD二、填空题：9．610．甲11．112．13．814．15．三、解答题：16．（1）（4分）,所以,于是（7分）（2）∵，∴，又，∴（9分），∵，∴，可知（12分）17．（1）由已知∴PG=4（2分）则（12分）解法二：（1）由已知∴PG=4在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．当时，，即．∴函数只有一个零点．……6分（Ⅱ）显然函数的定义域为∴ ………7分当时，在区间上为增函数，不合题意……8分当时，等价于，即此时的单调递减区间为．依题意，得解之得． ………10分 当时，等价于，即此时的单调递减区间为，∴得………12分综上，实数的取值范围是 …………13分法二：①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，只要恒成立，解得或综上，实数的取值范围是 …………13分20．（1）在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E,过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE=，sin∠DC0F=∵DF=C0D，DE=DF，∴DE=C0D所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍．所以垂直高度每升高100米，盘山公路需修建1000米．从山脚至半山腰，盘山公路为10．从半山腰至山顶，索道长2.5．……6分（2）设盘山公路修至山高x(0＜x＜2)，则盘山公路长为10x，索道长．设总造价为y万元，则y==(10)a+10令y′=当x∈（0，1）时y′＜0,函数y单调递减当x∈（1、2）