平几1.平面几何中几个重要的定理1讲师版

自招竞赛季数学讲平面几何·几个重要授BA'CB'AC'1A'CB'AC'BA'CB'AC'1A'CB'AC'（7）平面上两三角形ABC

1【题目】如图，A’，B’，C’分别是ABC三边BC，CA，AB或其延长线上的点，证明：A’，B’，C’共线，则BACBAC'1A'CB'AC'A 梅氏定AADC’A’BCAC'DA'CB'C' A' B' A'2'A'CB'AC'A 梅氏定理逆定

A''C’B’BC BA'CB'AC 1，可

A'CB'AC'BA’=BA’’A’A’’重合A’，B’，C’共线。得证!#

A' A''3B’，C’sinBAA'sinACC'sinCBB'1.sinA'ACsinC'CBsinB'A

sinA' A'sinACC'AC C'sinCBB'CB'sinB' B'4【题目】如图，ABC中，AD、BE、CFO

AFBDCEFBDCAFEO FEOAECBDO1AFBCDOECBD FBCD5【题目】ABC中，D、E、FBC、CA、ABAFBDCE1FBDC求证：AD、BE、CFAD、BEOCOABF’AF'BDCEF'BDCAF

AF 证 F'【知识点】赛瓦定6sinACFsinBADsinCBEsinBCFsinCADsinAFBDCE1FBDC sinACF sinBCF

sin

sinACF sinBCFBDsinBADAB，CEsinCBE sinCAD sinABE7【题目】平面上两三角形ABC

Q、R共线。OCOCBAQR笛沙格定

ABCPQRA1QC1PB1R11

QC1PB11OACACQOAA1QC1C1AA1QC1OBB1RA1A1OCC1PB1B

PB18【题目】平面上两三角形ABC

R共线。ABCBCRQ

ABCPQRA1QC1PB1R11

QC1PB1

A1Q

AA1C1PC1CB1R

1【题目】如图，CF是ABC的内角平分线，DE是线段CF的中垂线，交CF于D，交直线AB于E。已知AB=39，BE=25，则BF= CDE 【答案】BF=x，BC、DEGFG

ACAC

39CDFEBG EB272【题目】正ABC中，AD=BE，BD、CE72 【答案】1or ADEFDEF梅氏定理题CDABDABEABABCEBEABBE

72由①，②，③解得x=1or 3【题目】ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，求证：AD、BE、CF三线AEFGIEFGI葛尔刚【解析】4A1A2BCB1B2CAC1、C2ABACCB1AB,

AC1

BA1CAAPBQCR

AQRQRP

赛瓦定理题APBCAPBQ、CR4【题目】如图，ABC中，AD、BE、CFOODOEOF AFEO FEOAECBDO1BFACEO1ECBD FACECDBAFODBAFODBDCE BC

，1(11OE

，(1x)

(1y)zOD ，OE

， xzx

xyy yzz且由赛瓦定理，xyz=1OD

，OF 故ODOEOF

xyy1，得证

xyy57A PD 第7届Q【解析】注意到BDPAECCDPAFBPDQBPPQSBPDSABC4SBPD6【题目来源】1996年初中数ABCDACBDM.MADAB、AEMEMFBCO梅氏定理题POFOEOMOC

BDMFCB OCBAEM AEAE

OMOMME OF 7【题目】如图，AD是ABC的中线，PADBPCAE，直线CP交AB于F，过E作CF的平行线交AD于L，FPN、EPM为正三角形，求证：LMNALFEPNMLFEPNM赛瓦定理题对ABCAE

ELM尔后借助FPEL及正FNP、EPM，证明LM=NMNLELM8FFEDLKXYZNMCABWLYNX

1 WNLBD、CE、AF由梅氏定理得WZLDNB WXNCLE LY

WA 又WNLABCDEFWALCNBAL

WELDNF，EL ，9【题目】以ABC各边为底边向外作相似的等腰BCD、CAE、ABF。求证：AD、BE、AFFCB【解析】所证

AC'BA'CBC'BA'CB'

赛瓦定理题 SCADSSCAFSABD SCADSS

1CAAFsinCAFCAFCAF①CAsinCAFABsinABDBCsinBCEBCsinCBFCAsinACDABsinsinCAFsinABDsinBCEsinBCFsinDCAsin由相似三角形的条件，有FABCAECAFEAB等10【题目】ABCBC、CA、ABD、E、FBCEFP，CADFQ，ABDERP、Q、R【解析】D、E、F为切AECD