理论力学第六章点的运动学

理论力学第六章点的运动学1第一页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/引言

引言一、运动学的研究对象及任务

1．研究对象几何学意义上的点（或动点）和刚体。■点：无质量、无大小、在空间占有其位置的几何点■刚体：点的集合，而且其任意两点的距离保持不变例如，在研究地球绕太阳运行的规律时，可以将地球抽象化为一个动点；而在研究地球上的河岸冲刷、季候风的成因时，则要将地球抽象化为一个刚体。第二页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/引言

1.学习动力学的基础

受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。

2.学习机械设计和设计传动机构的基础。

3.解决工程问题。三、研究方法不考虑运动原因，只研究运动的几何性质。二、学习运动学的目的2．研究任务（1）研究物体的机械运动及运动的几何性质；（2）研究机构传动规律。第三页，共四十二页，2022年，8月28日运动学第六章点的运动学第七章刚体的简单运动第八章点的合成运动第九章刚体的平面运动四、运动学的具体内容第四页，共四十二页，2022年，8月28日运动学

研究点在空间运动的几何性质，即点相对某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。第六章点的运动学

研究对象几何点，称为运动的点，有时简称为点。

研究任务

·具体内容§6-1矢径法§6-2直角坐标法§6-3自然法第五页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学一、运动方程§6-1矢径法二、运动轨迹—矢端曲线

动点运动过程中，矢径末端在空间描绘出一条连续曲线，即为点的运动轨迹，亦称矢端曲线（或称矢径端图）。运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量

表示。

简称为位矢第六页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学三、点的速度速度

——

描述点在

t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。第七页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学t

时间间隔内速度的改变量点在

t

瞬时的加速度t＋

t瞬时:速度

或t瞬时:速度四、点的加速度第八页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

加速度

——描述点在

t瞬时速度大小和方向变化率的力学量。

加速度的方向为

v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致)

。

加速度大小等于矢量的模。

点的加速度为矢量第九页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学五、矢径法的特点

此法只适于定性分析并引入上述相关概念。不宜用于定量分析。欲定量分析点的运动，需作进一步讨论。第十页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动规律。一、运动方程

取直角坐标系，如图所示。§6-2直角坐标法点M在运动过程中，其坐标x，y，z随时间而变化。第十一页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

消去上式中的参数时间t，可得到点的轨迹方程—空间曲线方程直角坐标形式的运动方程：二、轨迹方程第十二页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学三、点的速度又●速度的大小和方向＝第十三页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学又四、点的加速度●加速度的大小和方向＝第十四页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

例1：

在曲柄连杆机构中，曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，在连杆AB的带动下，滑块B沿直线导槽作往复直线运动。求滑块B的运动方程、速度及加速度。解：曲柄连杆机构在工程中有广泛的应用。这种机构能将转动转换成直线平移，如压气机、往复式水泵、锻压机等；或将直线平移转换为转动，如蒸汽机、内燃机等。第十五页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学滑块B沿OB方向往复直线运动，用直角坐标法建立运动方程。运动方程速度：第十六页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学滑块B的加速度由已知条件

，因此，

恒小于1。根据二项式定理通常

，上式等号右侧第三项的系数第十七页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

在一般的工程精度情况下，可以略去此项及其后的各项，由三角函数倍角公式并化简可得滑块B的运动方程滑块B

的速度和加速度分别为第十八页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角Φ=t+，其中

为t=0时的夹角，为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度例2:第十九页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学A，B两点都作直线运动，取轴如图所示。于是，两点的坐标分别为

将坐标写成时间的函数，即得A，B两点沿Ox轴的运动方程

解：xAxB●运动方程：第二十页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

●工程中，为了使点的运动情况一目了然，常常将点的坐标与时间的函数关系绘成图线，一般取横轴为时间，纵轴为点的坐标，绘出的图线称为运动图线。

xA`xB运动图线如下图示。

●

将点B的运动方程对时间取一阶导数即得点B的速度第二十一页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学●点B的加速度为第二十二页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学§6-3

自然法

当点的运动轨迹已知时，宜用自然法描述其运动。

１、弧坐标

坐标原点O：在已知轨迹上任选一点。

坐标正方向：坐标原点O的某一侧为正向。

弧坐标s：沿轨迹从O到点M的弧长。一、运动方程2、弧坐标形式的运动方程第二十三页，共四十二页，2022年，8月28日P0二、自然轴系●动点M沿空间曲线运动，t瞬时位于M，切线为MT；t+△t瞬时位于M1，切线为M1T1●自M作MT2∥M1T1，MT与MT2构成平面PPT2●△t→0，M1→M；M1T1、MT2→MT；平面P→极限位置P0（称为密切面）密切面过M作⊥MT的平面（称为M点法平面）法平面MT切线M1T1OS，法平面与密切面交线为主法线主法线法平面上过M且⊥主法线的直线为副法线副法线●切线、主法线、副法线两两垂直，三者为轴称为自然轴●自然轴单位矢量运动学/点的运动学第二十四页，共四十二页，2022年，8月28日二、自然轴系●当动点沿曲线轨迹●自然轴单位矢量

的指向与弧坐标正向一致，

指向曲线内凹的一侧运动时，

的方向不断变化，构成一个以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，故自然坐标系是动坐标系。运动学/点的运动学P0PT2密切面MT切线M1T1OS主法线副法线第二十五页，共四十二页，2022年，8月28日●曲率和曲率半径t瞬时位于M点，切线单位矢量；t+△t瞬时位于M`点，切线单位矢量MM`△△△△

为经过

时切线转过的角度△

曲率定义为切线的转角对弧长一阶导数的绝对值曲率半径：：将

向M点平移运动学/点的运动学第二十六页，共四十二页，2022年，8月28日●的计算MM`△△△由图知：且当时，且有当

为正时，沿

正方向运动，指向曲线内凹的一侧当

为负时，沿

负方向运动，

指向曲线外凸的一侧第二十七页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学四、点的加速度三、点的速度第二十八页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线方向，称为切向加速度

第二项反映速度方向随时间的变化率，称为法向加速度

切向加速度

法向加速度第二十九页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学)全加速度为：点作加速运动;点作减速运动、同向：

、反向：讨论:●

有何不同?就直线和曲线运动分别说明．

(直线.曲线都一样),

为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度。第三十页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速圆周运动)(匀变速曲线运动)(匀速运动)●指出在下列情况下,

点M作何种运动?<1><2> <3><4><5><6> <7>

第三十一页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学●判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动?加速曲线运动不可能不可能不可能匀速曲线运动不可能减速曲线运动第三十二页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学●<1>点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零？

<2>点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否为零？答:<1>不一定.速度为零时加速度不一定为零(如：自由落体上抛到顶点时)

<2>加速度不为零，只要点作曲线运动，就有法向加速度．第三十三页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

●点P沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，请判断点的运动性质：(A)越跑越快；(C)加速度越来越大；(D)加速度越来越小。(B)越跑越慢；

由于点由外向内运动,曲率半径越来越小,所以加速度越来越大。解：第三十四页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学例3:

半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角=t

（为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点P的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：

取=0时点P与直线轨道的接触点O为原点，建立直角坐标系Oxy，如图所示。

当轮子转过时，轮子与直线轨道的接触点为C。由于是纯滚动，有

（1）运动方程第三十五页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学

则用直角坐标表示的P点的运动方程为：

上式对时间求导，即得P点的速度沿坐标轴的投影：(b)(a)（2）速度第三十六页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学(c)M点的速度为（3）切向、法向加速度将式（c）对时间求导即得点M的切向加速度

将式（b）再对时间求导，即得加速度在直角坐标轴上的投影：第三十七页，共四十二页，2022年，8月28日运动学/点的运动学法向加速度由于

，于是还可求得轨迹的曲率半径