2021年北京中考数学试卷及解析

2021中考数卷精析版—北京卷（本试卷满分分考试时间分）一、选择题（本题共分，每小题4分下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．北市分正十形的每个外角等于【】A18

B．36

C．

D．60【案。【点多形外角性质。【析根外角和等于的质，得正十边形的每外角等于360÷10=36。故选B北市分下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】A长方体

B正方体

．圆柱

D．三棱柱【案D。【点由视图判断几何体。

【析主视图、左视图、俯视图分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱。故选。北市分班主王老师将6奖品分别放在个完全相同的不透明礼盒中，备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵号的同学这些奖品中份是学习文具2份科普读物1份科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是【】A

16

B．

C．

12

D．

23【案。【点概。【析根据概率的求法，找准两：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。本题全部等可能情况的总数6，到科普读物的情况是。取到科普读物的概率是2。故选B。62021北京分如图，直线，于点，射线平分AOD若0，则∠BOM等于【】A

B．

C．142

D．【案。【点角分线定义，对顶角的性质，补角的定义。【析由∠BOD=76

，根据对顶角相等的性质，得0，根据补角的定义，得。由射线OM平AOD根据角平分线定义，COM=380。∴BOM=∠COM＋∠

。故选。北市分）某外小组的同学们社会实践活动中调查了户家庭某月的用电量下表所示：用电量（度）户数

则这户家庭该月用电量的众数和中位数别是【】A180，【案A【点众，中位数。

B．C．，D．，【析众是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是

180，这组

数据的众数为180。中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平数）。由此将这组数据重新排序120140140160160160160180180，180180180，，，200，∴中位是第和个均数，它们都是160故这组数据的中位数为。故选A。北市4分小翔如图1所示的场地上匀速跑步，他从A出，沿箭头所示方向经过点B跑到点用时30的练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程翔跑步的时间为单位：秒与练的距离为y（位：米示y与t的数系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图中的【】A点M

B点NC点PD．点Q【案D。【点动问题的函数图象。【析分在点M、N、、Q位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案A、在点M位置，则从A至B这时间内，弧AB上一点与点M的离相等，即不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、点N位，根据矩形的性质和勾股定理NA=NB=NC且最大，与函数图象不符故本选项错误；C、点P置，则PC最，与函数图象不符，故本选项错误；D、点位置，如图所示，①以为圆心QA为径画圆交AB于，中y最的点是AE的垂线与弧AB交点H；②在弧上从点E到，y逐减小；，=y，B且BC的中垂线QN与BC的交点y的小值点。经判断点Q合函数图象，故本选项正确。故选D。

2222二、填空题（本题共分，每小题4分北市分分解式：mn

▲

．【案m【点提因式法和应用公式法因式分解。【析要将一多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式有因式把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，mn

2

+6mn+9m=m北京分若关于x的程x2x有个等的实数根，则m的值是【案－。【点一二次方程根的判别【析根方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为，此求出m的即可：∵关于的方程x2-2x-m=0有个相等的实数根，∴eq\o\ac(△,)，∴（－2）－4×1×－m，解得－1

▲

．11北京分如图，小明同学用自的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边DE与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cmEF=20cm，测得边离地面的高度AC=1mCD=8m则树高AB=

▲

m．【案5。5【点相三角形的判定和性质。【析利eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)BCD相求得的长后加上小明同学的身高即可得树高AB∵∠∠，D=∠D，∴△∽△DCB∴

BCDC。DE

∵。4m，。2m。，CD=8m∴∴AB=AC+BC=1。。5m

BC80.4

。∴（北京分在平面直角坐标系xOy中我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0B是轴半轴上的整点，记AOB内（不包括边界）的整点个数为．当m=3，点B的坐标的所有可能值是

▲

；当点B的横坐标为（正整数）时m=

（用含n的代数式表示【案3或4；－3。【点分归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。【析根题意画出图形，再找出点B的坐标eq\o\ac(△,与)内（不包括边界）的整点m之的关系即可求出答案：如图：当点B在（，）点或4，）点时，△AOB部（不包括边界）的整点为，1（1，1三个点，∴当时点的坐标的所有可能值是3或。当点的坐标为4n为正整数）时，∵以OB为OA宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为4n）×3=12n－3对角线上的整点个数总为3∴△AOB部（不包括边界）的整点个数m=n－33）÷2=6n－。三、解答题（本题共分，每小题5分北京分计算：【案解原

2sin。

。【点实的运算，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。

【析针对零指数幂，算术平方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。北京分已知：如图，点，AC在一条直线上AB∥，AB=CEAC=CD求证：BC=ED【案证：∥CD，∴∠BAC=∠，∵在△BAC和△ECD中AB=EC∠BAC=∠ECD，AC=CD∴△BAC△ECDCB=ED。【点平线的性质，全等三角形的判定和性质。【析先由AB∥平行线的性质可得BAC=∠由条件AB=CEAC=CD可出BAC和△ECD全，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED。北市5分如图，在平直角坐标系，函数y=图象的交点为A（，（1）求一次函数的解析式；

4

一次函数－

（2）设一次函数y=kxk的象与轴于点B若是x轴上一点，且满△PAB的积是4，直接写出点的标．【案解）A（，）入y=

4

m=2，则A点标为A（，将A（2，）入y=kx－k得2k，解得。∴一次函数解析式为y=2x－2（2，，0【点反例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【析1将A点坐标代入y=即可得到一次函数的解析式。

4

m的为2再将2，）代入－k，求出k的，（2将三角形以x轴分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加：∵一次函数－2与x轴交点为C（，轴的交点为（0－11∴，得CP=2。2∴点标为，00北京分列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的少毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【案解设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为2x－）毫克，由题意得：

1000，得x=22。2xx经检验：是原分式方程的。答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克。

【点分方程的应用。【析设片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为－）毫克，根据关键语若年滞尘1000毫所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫所需的国槐树叶片数相同，可方程

1000550，方程即可得到答案。注意最后一定要检验。2xx四解题本共分，小5分）北市5分如图，在四形，对角线ACBD交点E，BAC=90，，∠DCE=900

，DE=，2．的长和四边形ABCD的积．【案解过点D作DH⊥AC∵∠CED=45°，DH，DE=，∴EH=DH=1又∵∠，∴DC=2HC=。∵∠AEB=45°，BAC=90°BE=22，∴AB=AE=2∴AC=2+1+3。∴S四形ABCD

922

。【点勾定理，含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，【析利等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1进而得出再利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出CD长，求出AC，的即可得出四边形ABCD的面积。北京分已知：如图是O的直径，是O上点OD于D，点C作⊙的线，交OD的长线于点，结BE．（1求证与O相；（2连结AD并长交BE于，若OB=9sin

23

，求的．【案证）连接OC∵ODBCOC=OBCD=BD（径定理∴△≌△BDO（HL∠∠BOD

在△和△OBE中∵OC=OB，∠∠BOE，，∴△≌△（∠OBE=，OBBE∴与O相。（2过点D作DHAB，∵ODBC∴△ODH∽△OBD，∴

ODOHDH。OD又∵ABC=

23

，OB=9，OD=6∴，，DH=2。又∵△∽AFB，∴

AH365，即，得FB=。ABFB【点垂径定理，全等三角形的定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【析（）连接OC先证明≌OBE得出⊥，从而可证得结论。（2过点D作DHAB，根据ABC=

23

，可求出OD=6，，，然后由△ADH∽AFB，利用相似三角形的性得出比例式即可解出BF的。2021京分近年来，北京市大力展轨道交通，轨道运营里程大幅增加2021北京市又调整修订了至2020年轨道交通线网的发展规划．以下根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至年）开通时间

开通线路号号号八通线号号号机场线号房山线大兴线亦庄线昌平线号

运营里程（千米）

请根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据（2）按照2021年划案，预计年京市轨道交通运里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至2021的轨道交通规划任务，从2021到2021这中，平均每年需新增运营里程多少千米？【案解）据表格所给数据即可得出运营路程为。补全条形统计图如图所示：（2∵根据统计表和扇形图，截止2021年开通运营总路程336千，占计划的33。，∴预计2020年京市轨道交通运营总里程将达到336÷33。6%=1000（千米（3∵截止新增运营路程为：。7=367千米∴从20212021年4中平均每年需新增运营里（367-3675千米【点统表，条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，平均数。【析1根据表格所给数据即可得出2021年营路程为：年营总路程+出即可。（2根据统计表和扇形图：截止2021年开通运营总路程和占计划的百分比，即可得出答案。（）根据截止年增运营路程为（米；从而得出从2021到2021这4年中，平均每年需新增运营里程。北京分操与究（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点表的数乘以，把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的应点P′。点A，B在轴上，对线段的每个点进行上述操作后得到线段A′B，中点AB的应点分别为A，．如图1若点A表的数是，点A表示的数是；点表示的数是，则点B表的数是；已知段上点E经上述操作后得到的对点E与点E重合，则点表示的数是；

2（2）如图2在平面直角坐标系xoy中对正方形ABCD其内部的每个点进行如下操作：把个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个位，再向上平移n个位＞，＞到方形′B′D及内部的，其中点A，的应点分为，。已知正方形ABCD内部的一个点经上述操作后得到的对应点F与F重，求点F的标。23【案解（1）0；；。2a（2根据题意得，m，解得。20设点F的标（，y，∵对应点与点F重合，∴

1xx1y

，解得

xy

。∴点F的标（14。【点坐与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【析（）根据题目规定以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表的数为，根据题意列出方程求解即可得到点B表的数，设点E示的数为b根据题意列出方程计算即可得解：点：－3×－。设点表示的数为，则，解得a=3设点表示的数为b则a+1=b，解得

32

。（）先根据向上平移横坐标变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。五解题本共分，23题分第题7分，题8分．2021北市分）已知二次函数1)x

在和x

时的函数值相等。

（1求二次函数的解析式；（2若一次函数y的象与二次函数的图象都经过点A(，和k的；（3设二次函数的图象与x轴交于点B，C点在的侧），将二次函数的图象在点B，间的部含点B和左移n(n0)个单位后得到的图象记为C时2得的直线y向上平移n个位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有共点时n的值范围。【答案】解（1）∵二次函数在x和x

时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为x。∴

解得t

。3∴二次函数解析式为yxx。2（2∵二次函数图象经过A(m)点，3∴m×A（－3，－）。2又∵一次函数ykx的象经过A点，∴解得k（3由题意可知，二次函数在点B，间部分图象的析式为

，则向左平移后得到的图象C的析式为y

12

此时一次函数y4x的图象平移后的解析式为4x。∵平移后的直线与图象C有共点，∴两个临界的交点为∴当x=时，当时n。∴n6

；

【点二函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。【析（1）由二次函数在和x

时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为x

0+2

，从而由对称轴公式

x

b

可求得t，而求得二次函数的解析式3（2由二次函数图象经过A(代入y2x可得m2y的图象经过A点代入可求得k

，从而由一次函数（3根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象有公共点，求得公共点的坐标即可。．（北京7分）△ABC中，BA=BCM是AC的中点，是段BM上的动点，将线段PA绕P顺针旋转得到线段。（1）若M重（如图）线段CQ的长交射线BM点D，补全图形，并写出∠CDB的数；（2）在2中，点不点B，M重，线段的长与射线交于点，想的小（用含的数式表示），并以证明；（3）对适当大小的，当点P在段BM上动到某一位置（不与点BM重）时，能使得线段CQ的长线与射线BM交点D，且，直接写出的范围。【案解）全图形如下：

11221211221211212121121∠。（2作线段CQ的延长线交射线于，连接，AD∵AB=BC，M是的中点，⊥。∴AD=CD，PD=PD。在△APD与中AD=CD，PA=PC∴△APD≌△CPD∴AP=PCADB=，PAD=∠PCD又∵PQ=PAPQ=PC，∠ADC=2∠，∠∠PCD=∠。∴∠PAD+∠PQC+∠。∴∠∠ADC=360°－∠∠PQD=180°∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－，即2∠－2。∴∠CDB=90°－。（3＜α＜60°【点旋转的性质，等边三角形判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。【析1利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得CMQ是边三角形，即可得出答案：∵BA=BC∠，M是AC的中点，BM⊥，AM=AC∵将线段绕P顺时针旋转α得线段，，∠AMQ=120°∴CM=MQ，∠。∴CMQ是边三角形。∴∠ACQ=60°。∴CDB=30°。（2首先由已知得出APD≌△CPD从而得出PAD+∠∠∠PQD=180°即可求出。（3由（）得出－，且，∴∠PAD=∠∠∠CDB=180°－。∵点P不点BM重合，∴∠BAD＞PAD＞∠MAD。∴2＞180°－2＞，＜＜60°。（2021北市8分在平面角坐标系xoy，对于任意两点P（xy）与P（x，y）“非常距离，给出如下定义：若∣x－x∣∣y－y∣，则点与“常距离为x－∣若∣x－x∣＜∣－∣，则点P与非常距为∣y－y∣。

12121212315例如：点P（1，2），点（，），因为∣－3＜∣－5∣，所以点与P非常距”为12121212315∣2－∣=3就是图1中段与段Q长的较大点为直y轴直线P与直于x轴的直线P的交点）。（1）已知点A(，By轴的一个点，①若点A与B的非距”为2写出一个满足条件的点B的标；②直接写出点A与B的非距”的最小值；（2）已知是线y

x上一个动点，①如图2，点D的标是（0），求点C与D“常距的最小及相应的点C的标；②如图3，是以原点为心为径的圆上的一个动点求点与E的非距离的小值及相应的点和C的标。【答案】解（1）①（，－）或（0，2）。②。（2①设坐为x，x，如图，过点作4⊥x轴点，CQ⊥y轴点。由非常距离的定义知当OP=DQ时与D的非距”最小，∴

34

x。两边平方并整理，得7x

64=0，得，x0

8或x大于，舍去）。7∴点C点D的非常距”最小值距离为，此时

C，。7②设直线

x与x轴y轴交于点AB过点O作直线y

x的线交直线yx于C圆点点作CPx轴于点，CQy轴点，点E作EM⊥x轴点M

333333易得，OA=4，，AB=5。由△∽△，，OM=，ON=。∴，。5设坐为xx4由非常距离”的定义知，当MP=NQ时点与点的非距离最，∴x+

3x。54两边平方并整理，得175x

840x，224解得，x或x（于，舍去）。35∴点C点的非常距”最小值距离为，此时C，，。【点新定义，直线上点的坐标方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【析（）根据非常距的义可直接求出。（2）①解题关键是，过点、y作垂线，当CQ长度相等的时候“非常距”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动点到达点其与点的非距离都增大。故而、D为方形相对的个顶点时有最小的非常距离。②同①，同时理解当垂直于直线y

x时点C与E的非距离最小。2021年考备考指1最后20天,用有限的时间把学习效率最大化一分钟学一分钟,不要秒是看书,另外30秒是发呆。

2、加强你的接受能力和专注程度,中考最后天是攻坚战,拼的不只是学习知识。3果感觉很多知识“跟不上”,回过头把初二知识理一理时在这里告诫初二学生,初二基本是分水岭,一定要重视初二知识的学习。4、中考马上就到,在学校里一些学生会说“对数学这门科目没兴趣……么办”,我只想说还有30天就中考了你却说你对数学没兴趣?所以要摆正学习态度,没兴趣不是理由！5、如果文科的秘籍是多听、多背、多,那么数学就是要多练、多整理错题。练就不用多说了,为什么整理错题这么重要因为初中数学题目你是做不完的,关注题型注你不会的把错的做对,那么你的数学成绩就没有问题。6如果你平常只能考一般分数,那么你掌握的基础知识还可以,但是考试不仅考基础题,还考综合题压轴题所以最后一定要加强综合训练尤其是要给自己营造出一种紧张的考试氛围,在规定时间内进行综合训练。7、中考最20天要克服粗心的毛病培养坚持到底的毅力。最后的关键时刻,谁坚持到最后,谁就是赢家,考完以后再回首你会觉得幸亏自己懂得及时。8最后这段时间学习计划更重要,每天列出需要完成的任务不要只会“刷题”,这样学习效率会更高,你也会在完成任务的成就感中更加喜欢学习。9、要明白到底什么是“会”和“不会”。很多同学拿到试卷后看到错题第一反应就是“我粗心”。如果问“1加1等于几”,最差的初三学生都知道等于2,这跟知识点的熟练度相关。所以要明白“懂”不代表,数拿不到就是不会。粗心只是因为你做得还不,熟练程度还没达到！10、中考实际上是对你学习能力、心理素质、抗压能力、协调能力等综合能力的考查所以一定要注意综合发展,只会傻傻“刷题”。11、学习是一个连续的过程。即使明天中考,别忘了学习计划的实施。到现在还没有一个属于自己的计划?更要好好反思可以跟老师好好讨论,给自己制订一个科学的复习计划！

12、不久后你会参加中,后你还会面对高,会上也有各种考试等着,要想取得好成绩,先要武装好自己,包括坚韧不拔的意志不怕输的勇气勇往直前的冲劲等,具备了这些精神品质,你将一往无前。语文备建议语文最容易得分的是理解性默写的题,15分的题只要背下来记下来写对字,就不成问题。基础题靠积累：中考前,每天早自习抽出10分钟看一下易错字、易错读音、病句修改、文化常识,30天足够你对这些知识了然于胸考场上信手拈来。古诗词：一般情况下考一个选择题,一个分析题。中考古诗词都是课内,所以你对这些不会陌生是分析题不仅需要你有一定的语言组织能力,还需要你把平常上课的语文笔记都背得滚瓜烂熟个需要时间但是如果你仍然不太熟悉的话,同理,每天复习两篇古诗词的笔记,足够了。现代文阅读和作文这里不必多说,因为一个月时间不仅不能提高你的作文和阅读能还会适得其反。数学备建议建议各位在这30天里,准备60道二次函数压轴题和道几何证明的大题每天分析一道,做一道。那些一遍做对的,分析一下是哪种类型,做几道同类型的如果都能成功地,恭喜你,这个类型暂时没问题了！如果没做对,找一张,首行写题目,下面一步一步写过程。一道题用一张纸,不够可以改用八开纸每一步都写出来每个细节都不要放过每一步过程旁边用红笔写出这一步的知识点,不懂的标注一下。这样做的目的,你可以把自己的思维理顺,知道中考不比平常的考,路