高中数学题型全面归纳不等式选讲

2222第三节不等式选讲（选修4-5）考纲解读了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档知识点精讲一、不等式的性质同向合成（1）ab,b.c=ac；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"（2）ab,cd=acbd；\o"CurrentDocument"（3）ab0,cd0=acbd.（合成后为必要条件）同解变形\o"CurrentDocument"（1）ab=acbc；（2）ab：=c0,acbc：=c：：0,ac：：bc；1（3）ab00.a、b0.ba（变形后为充要条件）作差比较法ab=a—b0,a：：b=a—b：：0二、含绝对值的不等式（1）a0,|x|：：a=-a■■■.x.a；a0,|x|a=xa,或x：：-a（2）|a||b戶a2b2（3）|xa||xbp：：c零点分段讨论三、基本不等式（1）a2-b22ab（当且仅当等号成立条件为a=b）（2）a0,b0,-b-2'、0b（当且仅当等号成立条件为a二b）；例例16.14（2015•山东）解不等式\x—1\-\x—5\<2的解集例例16.14（2015•山东）解不等式\x—1\-\x—5\<2的解集a+b+c3a0,b0,c■0,_3abc(当且仅当a=b=c时等号成立)3(3)柯西不等式22222(ab)(c•d)_(ac-bd)(当且仅当ad=bc时取等号)几何意义：|ab|<|a||b|=|adbc\_.a2b2.c2d2推广：(a；+a；+|||+a；)(b2+b+川+堺)AQb+ab冷H+ab)2.当且仅当向量a=(a,a2,|||,an)与向量b=(b|,b2,ll|,bn)共线时等号成立•四、不等式的证明作差比较法、作商比较法•综合法一一由因到果•分析法——执果索因•数学归纳法•(5)构造辅助函数利用单调性证明不等式•反证法•放缩法•题型归纳即思路提示题型201含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值•常用的去绝对值方法是零点分段法•特别用于多个绝对值的和或差不等式问题•若单个绝对值的不等式常用以下结论：\f(x)\：：：g(x)=-g(x)：：f(x)：：g(x)；\f(x)\g(x)=f(x)g(x)或f(x)：：-g(x)；|f(x)|\g(x)戶f2(x)g2(x)=(f(x)g(x))(f(x)-g(x))0.有时去绝对值也可根据\x\2=x2来去绝对值•变式变式1不等式|x-5||x3^10的解集是（）变式变式1不等式|x-5||x3^10的解集是（）A.[一5,7]B.[一4,6]C.(一心,一5]」7,：：)D.(v,-4]』6,：：)变式2已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.证明：-3_f(x)_3;求不等式f(x)_x2-8x15的解集二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题1例16.15若不等式|2x—1|+|x+2|>a2+空玄+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为.1变式1不等式x+x>|a—2|+siny对一切非零实数x,y均成立，求实数a的取入值范围•变式2若不等式|kx—4|<2的解集为｛x|1<xw3｝，则实数k=变式3(2017•石家庄调研)设函数f(x)=|x—3|-|x+1|,x€R.解不等式f(x)<—1；设函数g(x)=|x+a|—4,且g(x)wf(x)在x€[—2,2]上恒成立，求实数a的取值范围.三、含绝对值(方程)不等式有解，求参数问题例16.16(2016深圳模拟)若关于x的不等式|2014—x|+|2015—x|<d有解，求d的取值范围.1变式2已知a-R，关于x的方程x2•|a-—|•|a|=0有实根，求a的取值范围4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17(全国卷I卷(理))已知函数f(x)=-<2+ax+4，g(x)=x+1I+x-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)司(x)的解集；(2)若不等式f(x)司(x)的解集包含［-1，1］，求a的取值范围变式1设函数f(x)=|x_a|3x，其中a.0.(1)当a=1时，求不等式f(x)_3x・2的解集；⑵若不等式f(x)乞0的解集为fx|x^-1?，求a的值.变式2(2017•开封模拟)设函数f(x)=|x—a|,a<0.(1)证明：f(x)+f—1>2;1一⑵若不等式f(x)+f(2x)<2的解集非空，求a的取值范围.变式3(2012山东理13)若不等式|kx-4怪2的解集为Cx|1乞x乞3?，则实数k=题型202不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系例16.18（2014常州期末）已知x>1y>1求证：x2y+xy2+1<X2y2+x+y.变式1（2015徐州、连云港、宿迁三检）已知a,b,c都是正数，求证:a2b2b2c2c2a2為be.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的•解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0,另一端为所作辅助函数f（x）.（2）求f（x）并验证f（x）在指定区间上的单调性•（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.13例16.19已知0：：：x:::1，求证：x—sinxx.6变式1证明：当变式1证明：当0：：：x时,22x.sinx::x.ji三、综合法与分析法思路提示字母A,A|,A2JH,A,,B分别表示一组不等式，其中B为已知不等式，A为待证不等式若有AuA=IHuAuB，综合法是由B前进式地推导A，分析法是由A倒退式地分析到B.用分析法时，必须步步可逆.

1.综合法（由因到果）1.综合法（由因到果）例16.20已知a,b,c>0且互不相等,111abc=1.试证明：a+b+・cv§+石+g变式1已知a,b,c,d均为正数，且ad=be.(1)证明：若a+d>b+e,贝U|a—d|>|b—e|;(2)t・.a2+b2e2+d2=〔a4+e4+b4+d4,求实数t的取值范围.2.分析法（由果索因）16.21（2017•沈阳模拟）设a,b16.21（2017•沈阳模拟）设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:bc+器》3(,a+b+c).c2—c2—ka2~2—=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.a+b+a+b+c■'abc变式1已知a>b>c,且a+b+c=0,求证：，b2—ac<』3a.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假•2例16.22设二次函数f(x)=x+px+q，求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)I中至少有一个不小1于2.变式1已知a,b,・R，a「b3=2,求证：a，b乞2.五、放缩法思路提示预证A_B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B辽^B2,|||,Bk辽A或A_A,A_A2,|||,Ak_B，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩•例16.23(2015安徽卷)设n€N*,Xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列｛Xn｝的通项公式；1222⑵记Tn=X1X3•…X2n-1，求证:「^4n.变式1证明：nn(n1)n」(n_2,nN).变式2若a,b€R，求证:la+b|<_JOJ_+|b|1+|a+b广1+|a|1+|b|.例16.24求证:仁bCda4a,b,cd例16.24求证:abcbededadab例16.25设a,b,c,mR•，且满足am=bm-cm，问m取何值时，以a,b,c为边可构成三角形，并判断该三角形的形状•六、三角换元法思路提示2若x2y2=1,x2-1等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，2TOC\o"1-5"\h\z但是务必注意换元前后参数的范围变化•例16.26（2017江苏卷）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd_8.22xy5\o"CurrentDocument"变式1设x,yR，x2y2=1,求证：||_412七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数•（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.121例16.27设x,yR，b"，若0"花，求证:b_b:/例16.28已知a,b,c为三角形的三边长，求证：abc<+1a1b1c变式1证明：|ab|■旦•如1+|a+b|1+|a|1+|b|变式2已知x0且x屮1,m・n.0,求证：11mnX+AX+mn・xx例16.29证明：当x•-1且x=0时，有(Vx)n-1nx(n•N).2.2.例16.30设a,b,c三R，求证：a2b2、.b2c2一a2c2_2(abc).变式1设x,yR，求证：.x2-3x3y2-3y3x2-、、3xyy2_6.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大(小)值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设为公2,%也R，(X：yf)(xfy；)-(X!X2yy)2.等号成立=xy^x?%.2.一般形式的柯西不等式设印82,川玄及b),b2,lH,bn为任意实数,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"则(aQa?b2川anbn)2空(a2a；II丨a；)(b2b；川b；)，当且仅当去=鱼=川=乞(规定&严0时b=0,i=1,2,IH,n)时等号成立.bib2bn证法一：当ai全为0时，命题显然成立.\o"CurrentDocument"nn否则7a：0，考查关于x的二次函数f(x)(ajX-bJ2，显然f(x)_0恒成立.i=ii=innnn注意到f(x)=(£a：)xx+2y+3z+y+2z+3x+z+2x+3y—2任abjxx+2y+3z+y+2z+3x+z+2x+3yi4i47i4nnn故f(x)的判别式不大于零，即F：=4(7ah)2a：、b：乞0,\o"CurrentDocument"ii4i4nnn整理后得送a2送b2启(送abi)2.i4i4i4证法二：向量的内积证法•令a=(冃,a?,川，耳)，b=4,鸟,|||,0)，寸为a与b的夹角.因为ab=|a||b|cos：a,b：，且|cosa,b|_1，所以|ab|二|a||b||cosa,b;a||b|孑ab|2兰|a|2|b|2，即(qE+$b+111心.4)2M(a：+a；+|H+a21)($+b创+$)，等号成立=-=0或180=a,b平行=a1二比=|||=邑.bib2bn柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明•例16.31已知x，y，z均为实数.(1)若x+y+z=1,求证：，3x+1+3y+2+_3z+3<3,3;变式1已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3书.求证⑵变式1已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3书.求证变式2已知a.0,b.0,c.0,acosv-bsinv:::c.求证：.acos2门xbsin2—：：、、c.例1632设实数心满足―宀!，求证：—75.2n—11.2—<——2n2变式2已知正实数a,b,c满足abc=1，求证:1a3(bc)b3(ca)1c3(ab)最有效训练题61(2n—11.2—<——2n2变式2已知正实数a,b,c满足abc=1，求证:1a3(bc)b3(ca)1c3(ab)最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式|2x-1|：：：2-3x的解集是A.x|x)B.I2j33x|x■D.x|xI5jI5j2.设a,b,c(-心,0)A.都不大于-2B.\o"CurrentDocument"111，则a,b,c()bca都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-23.若p=、.5•^7，Qr厂3「，厂4(a_0)，贝V