线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题1.设A为3阶方阵，数λ=-3，|A|=2，则|λA|=（）.A．54；B．-54；C．6；D．-6.解.所以填:B.2、设A为n阶方阵，λ为实数，则|λA|=（）A、λ|A|；B、|λ||A|；C、λn|A|；D、|λ|n|A|.解.|λA|=λn|A|.所以填:C.3.设矩阵则（）.解.所以填:D.A.；B.；C.；D..4、是3维列向量，矩阵D、32.4=-32.所以填:D..若|A|=4，则|-2A|=（）.A、-32；B、-4；C、4；解.|-2A|=(-2)3=-85.以下结论正确的是（）.A.一个零向量一定线性无关；B.一个非零向量一定线性相关；C.含有零向量的向量组一定线性相关；D.不含零向量的向量组一定线性无关.解.A.一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B.一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C.含有零向量的向量组一定线性相关；对.D.不含零向量的向量组一定线性无关.不对,应该是:不能判断.所以填:C.6、A、B、C、D、解.(B)93页7.设A,B,C是n阶矩阵，下列选项中不正确的是（）.A.若A可逆，则B.若,其中为A的伴随矩阵；，则；C.若矩阵A可逆，数k≠0，则；D.对标准矩阵方程，若A，B可逆，则.解.A.若A可逆，则,其中为A的伴随矩阵；对.B.若，则；对.C.若矩阵A可逆，数k≠0，则；不对,应该是D.对标准矩阵方程所以填:C.，若A，B可逆，则.对.8、矩阵A=的伴随矩阵A*=（）.A、；B、；C、；D、.解.因为.所以故填A.41页9.若元齐次线性方程组有非零解,则（）.A.C.；；B.；D.A、B、C都不对.解.A.B.；对.；不对,此时应该；不对.此时,仅是有且仅有零解.C.有非零解的一种情况.D.A、B、C都不对.不对.所以填:A.10、（）.A、B、C、；D、解.A、不对.B、40页(iii),.即有.所以填:B.11.设向量组线性相关,线性无关,则下列成立是（）.A.可由线性表示；B.可由线性表示；C.不可由线性表示；D.可由线性表示.线性无关”.①因解.(p90例7.)由题设“设向量组线性无关.再由线性相关,线性无关,则线性表示,线性相关.则可由线性表示.②可由而由①知可由线性表示.因此可由线性表示.这与题设线性无关不可由线性表示.所以填:C.12、设A、是二维实向量，则（）.一定线性无关；B、一定可由线性表出；C、一定线性相关；D.一定线性无关.解.A不对.B不对.C.因为105页:n维实向量叫做维实向量的自然基为二维实向量.当然是线性相关C对.D不对.所以填:C.13.向量空间的一组基为()A.；；B.；C.D..解.A.组基.,所以不是向量空间的一B.；是向量空间的一组基.C.,所以不是向量空间的一组基.D.,所以不是向量空间的一组基.所以填:B.14、设A是4×6矩阵，R（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）.A、4；解.B、3；C、2；D、1.矩阵的秩,则元齐次线性方程组的解集的秩现在因此即填:B.15.设矩阵则必有（）.A.；B.；C.；D..解.A.？因此A不对.B.？因此B不对.C.？因此C对.D.？所以填:C.16、设A，B，C为同阶可逆方阵，则=（）.A、；B、；C、.所以填:C.；D、解。=二．填空题1.设A=，则A的秩R(A)=.解。,可见R(A)=3.所以R(A)=2、3..解。,其符号为.要它们的列数：2，4，5，1，3。之后再找它的逆序数：0+0+0+3+2=5，最后求（-1）的5次幂得-1。所以负.3..解。.所以1.4..解。..则.125.5.设，则.解。由所以。即.6..解。.7.设矩阵=，则是.转置矩阵：把矩阵的行换成同序数的列得到一个新的矩阵，38页解。所以8..解。则有.9.设线性相关,则______.解。k=0.10.______.解。.三．判断题对的打√，错的打×1.行列式与它的转置行列式不相等.解不对.应填：×.()2.矩阵的乘法不满足交换律.()解对.应填：√.3、矩阵的乘法满足交换律.解不对.应填：×.()4.矩阵有一个2阶非零子式,则()解不对.正确应为：。应填：×.5.矩阵有一个k阶非零子式,则()解不对.正确应为：。应填：×()6.向量组的最大无关组是惟一的.解不对.应填：×.7.向量组可有多个最大无关组.解对.应填：√.()8.行列式的某一列中所有元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式.解。对.应填：√.()线性相关，则可由线性表示.()解不对.应填：×.四．计算题1.计算行列式解:.2.已知行列式解：已知，矩阵.计算行列式.,易求得.又由分块矩阵的运算法则=.3.求齐次线性方程组解:的基础解系与通解.即得即得基础解系为从而通解为,.4.求.解：由,可得.经计算=，.则可逆，则.于是.5、设解:,用初等变换法求.所以.6.求下列方程组的通解..解：对增广矩阵进行初等行变换,有即得非齐次线性方程组的通解：五、证明题1、已知向量组线性无关，证明：向量组线性无关.证一:.记作证二:.设,则.由线性无关,故.又因,知方程只有零解.所以线性无关..记作.因,知可逆,故,所以.从而线性无关..又因线性无关,故,从而2.设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：证明：(1)因为用反证法证明．假设由此得则有..这与矛盾，故当时有.(2)由于,则.取行列式得到:此时命题也成立..若则.若由(1)知故有2005-2006学年第一学期一．填空题（每小题3分，共15分）1．2.若阶方阵A的秩,则0．3．设，是5阶方阵，且3,则基础解系中含2个解向量．12．4．若３阶矩阵的特征值为２，２，３，则5．设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0．二．选择题（每小题3分，共15分）1．若为3阶方阵，且，则(C)．Ａ．-4Ｂ．4Ｃ．-16Ｄ．162．设为阶方阵，满足等式，则必有（Ｂ）．Ｃ．Ａ．或Ｂ．或Ｄ．3．设元线性方程组，且，则该方程组(Ｂ)Ａ．有无穷多解Ｂ．有唯一解Ｃ．无解Ｄ．不确定4．设P为正交矩阵，则P的列向量（A）A．组成单位正交向量组B.都是单位向量5．若二次型为正定,则对应系数矩阵A的特征值(Ａ)Ａ．都大于0；Ｂ．都大于等于0；Ｃ．可能正也可能负Ｄ．都小于0C.两两正交D.必含零向量三．（8分）计算行列式的值．解．四．（8分）设，求．解：（或用伴随矩阵）五．（8分）求齐次线性方程组的基础解系及通解．解：通解方程组，通解为，基础解系，，（为任意常数）六．(8分)已知向量，，，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示．解：极大无关组，且．七．（10分）讨论取何值时，非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解．解：法1（1）当且时，有，方程组有惟一解；（２）当时，，，所以无解；（３）当时，，，方程组有无穷多解．法2八．（8分）用配方法将二次型化为标准形，并求可逆的线性变换．（或上届题？）解：，令，即，所以，变换矩阵标准形．九．（10分）求矩阵的特征值与最大特征值所对应的特征向量．解：，特征值当时，解得，，的对应于的全体特征向量为，）．十．（每小题5分，共10分）1．设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性．解：令即因为线性无关，所以有，由于方程组只有零解，故２．设为满足等式线性无关。的矩阵，证明A可逆，并求．解：所以A可逆，且2008--2009学年第一学期A卷得分一、填空题（共75分每空3分）1．设2．，则-6，，36.,.3．行列式=18，行列式____12_______.;4．两个向量的内积为：3，夹角为：把用施密特正交化方法得:5．若向量6．向量组，则用组合的表达式是.的线性相关性为：线性相关，它的秩是3.7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k=___2__________.8．若3阶方阵A的三个根分别是1，2，3，则方阵A的行列式9．设矩阵A=向量个数为3.，则矩阵A的秩为2，线性方程组的基础解系的10．给定线性方程组,则：当λ≠1且λ≠0时，方程组有唯一解；当λ=1时方程组有无穷解；当λ=0时方程组无解.11．矩阵的特征值为：2、1，对应于特征值的特征向量为：.12．设设方阵满足13．二次型,则____________.的矩阵的系数矩阵为：，该二次型为正定二次型.得分二、计算题（共5分）设矩阵A=,求矩阵X,使解由AX=A+2E得2’3’即姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………得分三、计算题（共6分）已知向量组求向量组解的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.由此可知,为一组极大线性无关向量组,得分四、计算题（共6分）求非齐次线性方程组解增广矩阵的通解．2’还原成线性方程组1’可得方程组通解为,为任意常数.2’得分五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）(1)(理工类学生不做此小题)已知二次型，a）出二次型所对应的矩阵b）用配方法将二次型化为标准型，C)写出相应的可逆线性变换矩阵。解a）2’b)2’令即有变换把二次型,化为标准型2’C)对应变换矩阵2’(2)（理工类学生必做此小题）已知二次型a)写出二次型所对应的矩阵,并求参数b)求出二次型所对应的矩阵的特征值的秩为2,c)求正交变换，把二次型化成标准形（不写正交变换）.解a）2’1’b)解特征方程，得2’C）分别解方程组，得单位特征向量，，；及正交矩阵，正交变换2’把二次型变为标准型:1’2008--2009学年第一学期B卷得分一、填空题（共66分每空3分）1．设矩阵，，则行列式：-6，-12，1/6，36.2.设,,则,,3．设是三阶方阵,,则：8，0其中为的代数余子式.4．，它的第3行第2列元素0的代数余子式=-2的伴随矩阵=.5.向量与向量，则:向量的长度=,夹角=，6．向量该组向量线性相关.，，则向量组的秩等于2，7.设,,,则当2时，线性方程组有唯一解；当时，线性方程组的解=为任意常数.8．设，是阶矩阵，2，则基础解系中含有3个解向量．9．设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0．10设2阶实对称矩阵的两个特征值分别为，则矩阵为负定定矩阵，6；多项式，则=55.得分二、选择题（共14分每空2分）1．设元线性方程组，且，则该方程组(B)Ａ．无解Ｂ．有唯一解Ｃ．有无穷多解Ｄ．不确定2.设元线性方程组，且，则该方程组的解由(A)个向量构成.Ａ．有无穷多个Ｂ.1Ｃ．Ｄ．不确定3．设Ａ．为阶方阵，满足等式，则必有（B）．或Ｂ．或Ｃ．Ｄ．4．设Ａ．为阶方阵，满足等式，则必有（D）．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．设P为正交矩阵，则P的列向量（C）A．可能不正交B.有非单位向量C.组成单位正交向量组C.必含零向量,则的列向量（A6.阶方阵的行列式）Ａ．线性相关Ｂ．线性无关Ｃ．Ｄ．7．阶方阵的行列式是矩阵可逆的（C）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．无关条件姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………得分三、计算题（共6分）向量，，请把向量组表示成向量组的线性组合.解4’由此可知2’得分四、计算题（共6分）非齐次线性方程组当取何值时（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷解，并相应的通解．解方程组的系数矩阵的行列式2’（1）当时，方程有唯一解；1’（2）当（3）当时，方程组无解；时，增广矩阵1’，可得方程组有无穷多解通解为得分2’五、计算题（共8分）试求一个正交的相似变换矩阵,把矩阵化为对角矩阵解解特征方程，得特征值,得相应的特征向量,得相应的特征向量3’解方程,.1’解方程,.1’令，1’，正交相似变换，2’2008--2009学年第一学期C卷得分一、填空题（共60分每空3分）1．行列式：28，它的第2行第3列元素1的代数余子式=-2.2．若为3阶方阵，且，，则-16，4，1/2.3.设,,则,=.4．设是３阶方阵,，则：3,0.5.向量与向量，则:夹角=，6．向量，，则向量组的秩等于2，该组向量线性相关.7.设,,,则当0时，线性方程组有唯一解；当时，线性方程组的解=（1，-1，0）。8．设9．设，是阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则3．是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0．10．设3阶实对称矩阵的三个特征值分别为，则矩阵为正定矩阵,的行列式6.11．二次型所对应的矩阵为,该矩阵的最大特征值是2,该特征值对应的特征向量是.得分二、选择题（共20分每空2分）1．设元线性方程组，且，则该方程组(B)Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．不确定2.设元线性方程组个向量构成.，且，则该方程组的基础解系由(C)Ａ．有无穷多个Ｂ．有唯一个Ｃ．3．设矩阵，为阶方阵，满足等式Ａ.矩阵的行向量由矩阵的行向量线性表示；Ｄ．不确定，则下列错误的论述是（B）．Ｂ．矩阵的列向量由矩阵的列向量线性表示；C．;Ｄ．矩阵4．设矩阵Ａ．的行向量由矩阵的行向量线性表示.，为阶方阵，满足等式，则下列关于矩阵秩的论述正确的是（D）．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．设P为正交矩阵，则