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文档简介

差分与差分方程

差分方程的经典解

零输入响应和零状态响应§3.1LTI离散系统的响应第三章离散系统的时域分析

注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。一、差分与差分方程

设有序列f(k)，则

…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：定义差分（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）

m阶差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)2.差分方程

包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例一般不易得到解析形式的(闭合)解。差分方程的迭代解法二、差分方程的经典解1.齐次解：与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)齐次方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程

1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即

λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。根据特征根，齐次解的两种情况2.有重根特征根λ为r重根时例例2.特解yp(k):激励f(k)响应y(k)的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似例三、零输入响应和零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由初始状态定（相当于0-的条件）齐次解形式：2.零状态响

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