矩阵理论第四讲最小多项式

矩阵理论第四讲最小多项式1第一页，共五十七页，2022年，8月28日上节内容回顾化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等变换法多项式矩阵（λ矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等因子行列式因子法

的相似变换矩阵P的求法在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于2第二页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根Hamilton-Cayley定理 设，，则证明：

由于

显然运算结果是一个多项式运算结果是一个数运算结果是一个矩阵运算结果是一个零矩阵3第三页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：

考察J：4第四页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理 将J写成如下形式：

上式中是A的n个根，所以 将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，： 将代入上式：5第五页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理6第六页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理7第七页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理8第八页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：

仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵： 设

其中：是的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：9第九页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理 设是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式： 再考察，其每个元素的次数均不超过n–1:10第十页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理

令:利用矩阵加法的定义将分解11第十一页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理

考察等式的右边：考察其左边：比较两边的系数：12第十二页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理以依次右乘这些等式：+=13第十三页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理的应用化简矩阵多项式的计算：当n阶方阵的矩阵多项式中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式表示为 与商的积，再加上余式的形式： 那么根据Hamilton-Cayley定理 这样可简化的计算多项式的带余除法 设，为任意多项式，不恒等于0，则必有两个多项式和，使得 式中或14第十四页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理的应用举例：给出：求；；；

15第十五页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理的应用 商：16第十六页，共五十七页，2022年，8月28日Hamilton-Cayley定理的应用所以：第2个问题第3个问题：待定系数法17第十七页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式方阵的零化多项式 设，是多项式，如果成立，则称为方阵A的零化多项式是A的零化多项式不恒等于零，是A的零化多项式方阵的最小多项式 设，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设，且，成立，且是唯一的

证明：采用反证法 设是A的任一零化多项式，假设不能整除，则根据多项式的带余除法：18第十八页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式 而是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性 假设也是A的最小多项式 首先，、均成立 其次，与次数相同，否则其中一个不是最小多项式 因此，、的商为常数因子 又因为与都是首一的，此常数因子必等于1 所以

19第十九页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式定理 矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根

证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即 设是的特征值，矩阵多项式的特征值为 并且，若则A的任一特征值满足 是A的次数最低的、首一的零化多项式：

即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根 又：设是的根，即，可得 是A的特征根20第二十页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法： 设的所有不同的特征值为，则其特征多项式可写为： 那么A的最小多项式应该具有如下形式： 这就是下述定理所描述的内容：

定理 设，是A的所有互不相同的特征值，则 其中是A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数21第二十一页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式

可能相同22第二十二页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式定理 设，是A的特征矩阵的n–1阶行列式因子，则A的最小多项式为：23第二十三页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式举例： 求 的最小多项式

方法1

最小多项式只能有以下形式 次数从低到高依次验证 所以24第二十四页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式举例： 求 的最小多项式方法2(Jordan标准形法)

：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数25第二十五页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式举例： 求 的最小多项式

方法1(第n阶不变因子)26第二十六页，共五十七页，2022年，8月28日方阵的零化多项式和最小多项式举例： 求 的最小多项式

方法2(Jordan标准形法)

：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数27第二十七页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的逆多项式矩阵的逆 设，若，使得成立 则称是可逆的，或称是单模矩阵多项式矩阵的逆是唯一的

设也是的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件 可逆

证明：必要性 假设可逆，则，成立28第二十八页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的逆

充分性 设，则使得其中，是的伴随多项式矩阵29第二十九页，共五十七页，2022年，8月28日初等矩阵及多项式矩阵的等价结论：

对多项式方阵，满秩未必可逆 初等多项式矩阵都是可逆的 初等多项式矩阵都是单模的

初等阵，使得30第三十页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的等价 与有相同的行列式因子，或相同的不变因子

证明：必要性

多项式矩阵的Smith标准形的唯一性 与有相同的不变因子 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系 与有相同的行列式因子31第三十一页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的等价

充分性 设与有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系定理 相似矩阵有相同的最小多项式

证明：

多项式矩阵等价的传递性32第三十二页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介右公因子(RightCommonFactor)： 设与，如果存在多项式矩阵、以及，使得及成立 则称多项式矩阵是与的右公因子左公因子(LeftCommonFactor)

设与，如果存在多项式矩阵、以及，使得及成立 则称多项式矩阵是与的左公因子最大右公因子(greatestcommonrightdecompositionfactor,gcrd??)

是与的右公因子； 与的任一其它的右公因子都是的右乘因子通过转置关系：研究其中之一即可33第三十三页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介gcrd的存在性 及，其gcrd都存在。

gcrd的构造定理 若存在单模矩阵，使得 则即为与的一个gcrd 证明： 先证是右公因子。为此，把的逆矩阵写成分块矩阵：nnmgcrd34第三十四页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介 以左乘定理中的等式两边，可得 比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知是与的右公因子 再证是gcrd，即若为与的另一右公因子，证明是的右乘因子，将 代入

35第三十五页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介 可得gcrd的求法 若对分块多项式矩阵 进行一系列初等行变换，使其下面的m×n分块成为零多项式块 则 就是求与的gcrd的变换矩阵，就是所求的gcrdnnm36第三十六页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介

求gcrd举例 给出 求

37第三十七页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介

求gcrd举例

12238第三十八页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介

gcrd的基本性质不唯一性。

单模矩阵

满秩满秩单模单模

若，则39第三十九页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介

gcrd的基本性质

对及，若 则可表示为 事实上，由gcrd的构造定理 取，即可

40第四十页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介

多项式矩阵的互质 称与是右互质的，若 为单模矩阵

多项式矩阵的互质的Bezout判别准则 与右互质 使Bezout等式成立

证明：必要性 与右互质为单模矩阵，以其逆左乘构造定理中的上分块矩阵等式 可得41第四十一页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介 令 则充分性得证充分性 设Bezout等式成立： 给定一个 则及，使得成立 代入Bezout等式 从而是单模矩阵与右互质

42第四十二页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则 与右互质分块多项式矩阵 的Smith标准形为 即：

证明：必要性43第四十三页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介 由gcrd构造定理有：(1) 其中，是单模矩阵 若与右互质是单模矩阵 设的逆为，以其右乘(1)式

由于等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形

必要性得证Smith标准形44第四十四页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵的互质性简介充分性 若 成立 与（均为单模阵），使得 成立，设的逆为，以其右乘上式，可得 由构造定理，，且单模 与右互质Smith标准形45第四十五页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的行次数和列次数

对多项式矩阵，定义 分别为的第i行次数和的第j列次数，分别记为：

举例:

46第四十六页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的列次表示式

多项式矩阵可用其列次数表示为列次表示式 其中，是一对角阵； ：列次系数矩阵，其第j列为的第j列中相应 于项的系数组成的列；：低次剩余多项式矩阵，且 47第四十七页，共五十七页，2022年，8月28日多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的行次表示式

多项式矩阵可用其行次数表示为行次表示式 其中，是一对角阵； ：行次系数矩阵，其第i行为的第i行中相应 于项的系数组成的行；：低次剩余多项式矩阵，且

48第四十八页，共五十七页，2022年，