矩阵的初等行变化

矩阵的初等行变化第一页，共四十页，2022年，8月28日我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不为零这一类特殊的线性方程组，可以用克莱姆法则求解。除此之外，在实际应用中大量存在的一般形式的线性方程组，不能用克莱姆法则求解，求解方法与理论必须进一步加以研究.第二页，共四十页，2022年，8月28日一、引例：分析用消元法解下列方程组的过程．解第三页，共四十页，2022年，8月28日第四页，共四十页，2022年，8月28日第五页，共四十页，2022年，8月28日第六页，共四十页，2022年，8月28日用“回代”的方法求出解：第七页，共四十页，2022年，8月28日第八页，共四十页，2022年，8月28日小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，（1）交换方程次序（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．用到如下三种变换:第九页，共四十页，2022年，8月28日3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第十页，共四十页，2022年，8月28日因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．第十一页，共四十页，2022年，8月28日二、矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（1）对调i，j两行：（2）i行乘以非零数k：（3）将j行的k倍加到i行：第十二页，共四十页，2022年，8月28日用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第十三页，共四十页，2022年，8月28日B与B1所对应的线性方程组同解第十四页，共四十页，2022年，8月28日第十五页，共四十页，2022年，8月28日第十六页，共四十页，2022年，8月28日第十七页，共四十页，2022年，8月28日第十八页，共四十页，2022年，8月28日于是经有限次初等行变换得：B与B5所对应的线性方程组同解第十九页，共四十页，2022年，8月28日对应的线性方程组为第二十页，共四十页，2022年，8月28日于是第二十一页，共四十页，2022年，8月28日行阶梯形和行最简形特点：（1）可划出一条阶梯线，线的左方和下方（有数的话）全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；（3）阶梯线的竖线后第一个元素非零，称为非零首元．称矩阵B4

B5为行阶梯形矩阵第二十二页，共四十页，2022年，8月28日特点：除了行阶梯形的三个特点外，还有（4）每个台阶的非零首元为1；（5）每个台阶的非零首元1所在的列其他元素都为0.行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵第二十三页，共四十页，2022年，8月28日小结：解线性方程组的消元法可以用矩阵的初等行变换来实现；行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解.利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为行最简形;第二十四页，共四十页，2022年，8月28日三、利用初等行变换解方程组举例行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解.利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为行最简形;方法：第二十五页，共四十页，2022年，8月28日三、利用初等行变换解方程组举例解：增广矩阵为利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：第二十六页，共四十页，2022年，8月28日第二十七页，共四十页，2022年，8月28日第二十八页，共四十页，2022年，8月28日行最简行第二十九页，共四十页，2022年，8月28日即得与原方程组同解的方程组：第三十页，共四十页，2022年，8月28日解得：第三十一页，共四十页，2022年，8月28日解：增广矩阵为利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三行对应矛盾方程0=1，所以方程组无解.第三十三页，共四十页，2022年，8月28日解：增广矩阵为第三十四页，共四十页，2022年，8月28日即得与原方程组同解的方程组为：在初等行变换过程中这列0没有变化，因此可以只对系数矩阵做初等行变换第三十五页，共四十页，2022年，8月28日解得：第三十六页，共四十页，2022年，8月28日四、线性方程组的解法总结（1）应用克莱姆法则（2）利用矩阵的初等行变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．第三十七页，共四十页，2022年，8月28日（1）非齐次线性方程组：将增广矩阵化为行最简形（2）齐次线性方程组：将系数矩阵化为行最简形利用矩阵的初等行变换解线性方程组第三十八页，共四十页，2022年，8月28日思考题本节课的引例及3个例题的解的存在情况（唯一解、无穷多解、无解）与增广矩阵的行阶梯形矩阵